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目前，我正在尝试使多个贝塞尔曲线具有等距点。我目前正在使用三次插值来查找这些点，但是由于贝塞尔曲线的工作方式，某些区域比其他区域更密集，并且由于距离可变，因此证明纹理映射很粗糙。 有没有办法通过距离而不是百分比来查找贝塞尔曲线上的点？此外，是否可以将其扩展到多条连接曲线？

给定空间中的任意点序列，如何在它们之间产生平滑的连续插值？

欢迎使用 2D 和 3D 解决方案。以任意粒度生成点列表的解决方案以及为贝塞尔曲线生成控制点的解决方案也受到赞赏。

此外，看到一个迭代解决方案可以在接收点时近似曲线的早期部分，这将是很酷的，因此您可以使用它进行绘制。

我正在尝试找到/制作一种算法来计算两个任意填充的 2D 对象的交集（一个新的填充对象）。对象使用直线或三次贝塞尔曲线定义，并且可能有孔或自相交。我知道一些现有的算法对多边形做同样的事情，这里列出。但是，我想支持贝塞尔曲线而不将它们细分为多边形，并且在没有交叉点的区域中，输出应该具有与输入大致相同的控制点。

这是一个交互式程序来做一些 CSG，但剪辑不需要是实时的。我已经搜索了一段时间，但没有找到好的起点。

一位朋友在他的代码库中发现了一个二次贝塞尔曲线函数，该函数使用开关表的巨大老鼠巢来执行计算。他要求我找到一个简短的表达式，让他能够替换巨大的代码块。

为了满足两种不同的好奇心，我想我会尝试在 OCaml 中实现该功能。我是一个非常新手的 OCaml 程序员，我也不熟悉这个函数，而且这个具体的实现很难通过谷歌得到。

非常感谢对函数的性能/正确性及其实现的批评。

二次贝塞尔曲线的实现：

我正在使用 Python 的成像库，我想绘制一些贝塞尔曲线。我想我可以逐像素计算，但我希望有更简单的东西。

我一直致力于二维连续数据的可视化项目。这是您可以用来研究 2D 地图上的高程数据或温度模式的东西。从本质上讲，它实际上是一种将 3 维扁平化为 2 维加颜色的方法。在我的特定研究领域中，我实际上并没有使用地理高程数据，但这是一个很好的比喻，所以我将在这篇文章中坚持使用它。

无论如何，在这一点上，我有一个我非常满意的“连续颜色”渲染器：

渐变是标准色轮，其中红色像素表示坐标值较高，紫色像素表示坐标值较低。

底层数据结构使用一些非常聪明的（如果我自己这么说的话）插值算法来实现对地图细节的任意深度放大。

在这一点上，我想绘制一些地形轮廓线（使用二次贝塞尔曲线），但我还没有找到任何好的文献来描述找到这些曲线的有效算法。

为了让您了解我的想法，这是一个穷人的实现（渲染器在遇到与轮廓线相交的像素时只使用黑色 RGB 值）：

但是，这种方法存在几个问题：

• 具有较陡坡度的图形区域会导致地形线较细（并且通常是断线）。理想情况下，所有地形线都应该是连续的。

• 具有更平坦斜率的图形区域会导致更宽的地形线（通常是整个黑色区域，尤其是在渲染区域的外围）。

所以我正在寻找一种矢量绘图方法来获得那些漂亮的、完美的 1 像素厚的曲线。算法的基本结构必须包括以下步骤：

1. 在我要绘制地形线的每个离散高程处，找到一组坐标，其中该坐标处的高程与所需的高程非常接近（给定任意 epsilon 值）。

2. 消除多余的点。例如，如果三个点在一条完全直线上，则中心点是多余的，因为可以在不改变曲线形状的情况下消除它。同样，对于贝塞尔曲线，通常可以通过调整相邻控制点的位置来消除某些锚点。

3. 将剩余的点组装成一个序列，使得两点之间的每个线段都近似于高度中性轨迹，并且没有两条线段会交叉路径。每个点序列必须要么创建一个封闭的多边形，要么必须与渲染区域的边界框相交。

4. 对于每个顶点，找到一对控制点，使得结果曲线相对于步骤 #2 中消除的冗余点显示出最小误差。

5. 确保在当前渲染比例下可见的所有地形特征都由适当的地形线表示。例如，如果数据包含高海拔但直径极小的尖峰，则仍应绘制地形线。仅当特征直径小于图像的整体渲染粒度时，才应忽略垂直特征。

但即使在这些限制下，我仍然可以想到几种不同的启发式方法来寻找线条：

• 找到渲染边界框内的高点。从那个高点开始，沿着几条不同的轨迹下坡。每当遍历线越过高程阈值时，将该点添加到特定于高程的存储桶中。当遍历路径达到局部最小值时，改变路线并上坡。

• 沿渲染区域的矩形边界框执行高分辨率遍历。在每个高程阈值处（以及在拐点处，无论坡度反转方向），将这些点添加到特定于高程的存储桶中。完成边界遍历后，从这些桶中的边界点开始向内追踪。

• 扫描整个渲染区域，以稀疏的规则间隔进行高程测量。对于每个测量，使用它与高程阈值的接近度作为决定是否对其邻居进行插值测量的机制。使用这种技术可以更好地保证整个渲染区域的覆盖，但是很难将结果点组装成合理的顺序来构建路径。

所以，这些是我的一些想法......

在深入研究实现之前，我想看看 StackOverflow 上的其他人是否有解决此类问题的经验，并且可以为准确有效的实现提供指导。

编辑：

我对 ellisbben 提出的“渐变”建议特别感兴趣。而我的核心数据结构（忽略一些优化插值快捷方式）可以表示为一组二维高斯函数的总和，这是完全可微的。

我想我需要一个数据结构来表示一个三维斜率，以及一个用于计算任意点的斜率向量的函数。在我的脑海中，我不知道该怎么做（虽然看起来应该很容易），但如果你有一个解释数学的链接，我会非常感激！

更新：

感谢 ellisbben 和 Azim 的出色贡献，我现在可以计算该领域中任意点的轮廓角。绘制真正的地形线将很快出现！

这是更新的渲染，有和没有我一直在使用的基于 ghetto raster 的拓扑渲染器。每个图像包含一千个随机样本点，用红点表示。该点的轮廓角由一条白线表示。在某些情况下，在给定点无法测量斜率（基于插值的粒度），因此红点出现时没有相应的等高线角度线。

享受！

（注意：这些渲染使用与以前的渲染不同的表面形貌——因为我在每次迭代时随机生成数据结构，而我正在制作原型——但核心渲染方法是相同的，所以我相信你得到这个想法。）

这是一个有趣的事实：在这些渲染图的右侧，您会看到一堆奇怪的轮廓线，它们处于完美的水平和垂直角度。这些是插值过程的产物，它使用插值器网格来减少执行核心渲染操作所需的计算数量（约 500%）。所有这些奇怪的轮廓线都出现在两个插值器网格单元之间的边界上。

幸运的是，这些文物实际上并不重要。尽管在斜率计算期间可以检测到伪影，但最终渲染器不会注意到它们，因为它以不同的位深度运行。

再次更新：

啊啊啊，作为我睡觉前的最后一次放纵，这是另一对效果图，一个是老式的“连续颜色”风格，一个有 20,000 个渐变样本。在这组渲染中，我已经消除了点样本的红点，因为它不必要地使图像混乱。

在这里，您可以真正看到我之前提到的那些插值工件，这要归功于插值器集合的网格结构。我应该强调的是，这些伪影在最终的轮廓渲染中将完全不可见（因为任何两个相邻插值器单元之间的幅度差异小于渲染图像的位深度）。

开胃！！

我知道：

• 控制点 a 和 d（二维三次贝塞尔曲线的起点和终点）

• 斜率 a->b、c->d 和 b->c（b,c 其他控制点）

• 贝塞尔曲线的中点在哪里。

现在，给定这些信息，控制点 b 和 c 位置的公式是什么？

By stroke of the cubic bezier curve I mean rendering a curve 'A' with a specific line width 'w'.

How can I derive other cubic bezier curves that describe the outline of the stroke of bezier 'A' ?

近似三次贝塞尔曲线的最佳方法是什么？理想情况下，我想要一个函数 y(x)，它可以为任何给定的 x 提供精确的 y 值，但这将涉及为每个 x 值求解一个三次方程，这对我的需要来说太慢了，并且可能存在数值稳定性问题以及这种方法。

这会是一个很好的解决方案吗？

给定两个具有整数坐标的二维二次贝塞尔曲线，找到它们的交点的最佳方法是什么？同样有趣的是，如果它们不相交，则提前拒绝。如果它更容易，可以假设它们在 x 和 y 中都是单调的。只有可以通过细分输入曲线的整数表示的交点才有效。