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我知道：

  • 控制点 a 和 d（二维三次贝塞尔曲线的起点和终点）

  • 斜率 a->b、c->d 和 b->c（b,c 其他控制点）

  • 贝塞尔曲线的中点在哪里。

现在，给定这些信息，控制点 b 和 c 位置的公式是什么？

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我知道这个问题很老，但没有提供正确或完整的答案，所以我想我会提出一个解决方案。请注意，大卫的计算包含几个错误，即使这些错误得到纠正，他的解决方案也不完整。

首先，定义向量T0，T1并T2使用三个斜率：

T0 = ( b - a ) / u0
T1 = ( c - b ) / u1
T2 = ( d - c ) / u2

如果我们知道每对控制点之间的方向和距离，那么我们就不需要比例因子u0和。因为我们只知道斜率，并且是未知的标量。此外，我们假设和非零，因为斜率已定义。u1u2u0u1u2u0u1u2

我们可以用几种不同的方式重写这些方程，以获得每个控制点根据其他控制点的表达式。例如：

b = a + T0*u0
c = b + T1*u1
d = c + T2*u2

该问题还指出，我们有三次贝塞尔曲线的“中点”。我认为这意味着我们的点位于曲线参数范围的中点。我将这一点称为p：

p = ( a + 3*b + 3*c + d ) / 8

用左侧的未知数重写产生：

b + c = ( 8*p - a - d ) / 3

我们现在可以用各种方式替换b和c使用前面的表达式。事实证明，当我们有平行向量或时T0，就会出现歧义。有四种情况需要考虑。T1T2

情况1：T0不平行T1

代入b = a + T0*u0和c = a + T0*u0 + T1*u1解决u0和u1：

2*T0*u0 + T1*u1 = ( 8*p - 7*a - d ) / 3

这是两个方程和两个未知数，因为T0和T1是向量。代入u0和得到缺失的控制点和。u1b = a + T0*u0c = a + T0*u0 + T1*u1bc

情况2：T1不平行T2

代入c = d - T2*u2和b = d - T2*u2 - T1*u1解决u1和u2：

T1*u1 + 2*T2*u2 = ( a + 7*d - 8*p ) / 3

案例3：T0不平行T2

代入b = a + T0*u0和c = d - T2*u2解决u0和u2：

T0*u0 - T2*u2 = ( 8*p - 4*a - 4*d ) / 3

情况 4：T0和T1都是T2并行的

在这种情况下a，b，c和d都是共线的，T0，T1和T2都等价于一个比例因子内。没有足够的信息来获得唯一的解决方案。一个简单的解决方案是b通过设置简单地选择u0 = 1：

b = a + T0
(a + T0) + c = ( 8*p - a - d ) / 3
c = ( 8*p - 4*a - d - 3*T0 ) / 3

存在无数种解决方案。本质上，拣货b定义c或拣货c将定义b。

扩展到 3D

该问题专门询问了平面贝塞尔曲线，但我认为有趣的p是，当将此问题扩展到非平面 3D 三次贝塞尔曲线时，该点不是必需的。在这种情况下，我们可以简单地为 和u0求解这个方程：u1u2

T0*u0 + T1*u1 + T2*u2 = d - a

这是三个方程（向量是 3D）和三个未知数（u0和u1）u2。代入b = a + T0*u0andc = b + T1*u1或c = d - T2*u2得到band c。

于 2009-07-07T18:02:45.263 回答
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假设您的斜率已标准化，那么对于某些 u,v 您有

u * slope(a->b)+a = b, v * slope(c->d)+d = c

你知道 a、d 和q:=(a+b+c+d)/8（曲线的中点）的值，所以c = 8(q-a-d-b)

将上述方程插入你得到的最后一个方程

v * slope(c->d)+d = 8(q-a-d-a-u * slope(a->b))

这是两个变量（u，v）中的2个方程（一个2d向量方程）

你不需要第三个斜坡。

于 2009-01-01T13:39:58.537 回答