我一直在研究这个问题一段时间，到目前为止还没有想出一个好的解决方案。

问题：我有一个包含三个（或更多）二维点的有序列表，我想用三次贝塞尔曲线遍历这些点，使其“看起来不错”。“看起来不错”的部分非常简单：我只想平滑第二点处的楔形（因此，例如，曲线本身不会双回）。因此，给定三个点，在绘制曲线时，应该将两个控制点放置在三元组中的第二个点周围。

到目前为止，我的解决方案如下，但不完整。这个想法也可能有助于传达我所追求的外观。

给定三个点，(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)。取每个三重点所内接的圆（如果它们共线，我们只需在它们之间画一条直线并继续前进）。在点 (x2,y2) 处取与该圆相切的线——我们将围绕 (x2,y2) 的控制点放置在该切线上。

这是我坚持的最后一部分。我遇到的问题是找到一种方法将两个控制点放在这条切线上——我有一个足够好的启发式方法来判断它们应该在这条线上离 (x2,y2) 多远，但是当然，有这条线上的两个点距离那么远。如果我们计算“错误”方向的曲线，曲线会自行循环。

要找到由三个点描述的圆心（如果任何点具有相同的 x 值，只需在下面的计算中重新排序这些点）：

然后，要找到切线上的点，在这种情况下，要找到从 point2 到 point3 的曲线的控制点：

我一直试图找到一种方法（在 Swing 中）将两个JInternalFrames 与 a CubicCurve2D（也称为三次贝塞尔曲线）连接起来。我想要达到的整体效果是一个类似于Yahoo!的界面。管道（曲线应该从一个内部框架的底部到另一个内部框架的顶部）。

这里有人做过吗？我遇到的问题是我无法弄清楚如何以用户可见的方式绘制更新曲线。绘制然后重新绘制JDesktopPane.getGraphics似乎没有任何作用。

如果可能，我想使用屏幕外缓冲区。

我确实有一条贝塞尔曲线，并且在某个点上，我想要第二条贝塞尔曲线以平滑的方式“分支”第一条曲线。除了计算交点（按照贝塞尔曲线的百分比），我还需要控制点（切线和权重）。使用以下 javascript 计算交点：

（非 IE 浏览器可以在 http://www.iscriptdesign.com -> Tutorial -> Groups & Paths看到它的运行情况）。我现在需要的是分支点的控制点或（切线和权重）（我不知道从哪里开始，我希望有人可以指出一些代码或数学方程，如果可能的话，作为来自相同参数的函数如上面的 getBezier 函数）。

我最初发布了一个更简单（而且帮助更少）的问题，并对其进行了更具体的编辑。

来自维基百科的这个动画基本上显示了我想要完成的事情，但是 - 我希望它翻转过来，它开始向目的地前进并“向上”（在这张图片中），然后更直接地弧线到最后观点。但是，我只能访问起点和终点，我希望做的是能够通过指定“高度”（或宽度，无论你怎么称呼它）来确定其他点，以确定多高弧线实际上去了。 http://en.wikipedia.org/wiki/File:Bezier_3_big.png（由于低代表无法发布图片）

我希望能够调用具有起点和终点以及高度的函数，并让它返回曲线沿途的所有点。

帮助或方向将不胜感激。

对于个人项目，我需要确定两条三次贝塞尔曲线是否相交。我不需要知道在哪里：我只需要知道他们是否这样做。但是，我需要快速完成。

我一直在搜寻这个地方，并找到了一些资源。大多数情况下，这里的这个问题有一个有希望的答案。

因此，在我弄清楚什么是Sylvester 矩阵、什么是行列式、什么是结果以及它为什么有用之后，我想我知道了解决方案是如何工作的。然而，现实要求有所不同，而且效果并不好。

到处乱混

我用我的图形计算器绘制了两条相交的贝塞尔样条曲线（我们称之为 B ₀和 B ₁）。它们的坐标如下（P ₀ , P ₁ , P ₂ , P ₃）：

结果如下，B ₀是“水平”曲线，B ₁是另一条曲线：

按照上述问题的最高投票答案的指示，我将 B ₀减去B ₁。它给我留下了两个方程（X 轴和 Y 轴），根据我的计算器，它们是：

西尔维斯特矩阵

由此我建立了以下西尔维斯特矩阵：

之后，我制作了一个 C++ 函数来使用拉普拉斯展开计算矩阵的行列式：

它似乎在相对较小的矩阵（2x2、3x3 和 4x4）上工作得很好，所以我希望它也能在 6x6 矩阵上工作。但是，我没有进行广泛的测试，并且有可能它已损坏。

问题

如果我正确理解了另一个问题的答案，那么行列式应该是 0，因为曲线相交。但是，为我的程序提供上面制作的 Sylvester 矩阵，它是 -2916。

这是我的错误还是他们的错误？找出两条三次贝塞尔曲线是否相交的正确方法是什么？

我之前发布了一个关于仅基于起点和终点生成贝塞尔曲线的问题，感谢使用我拥有的信息创建贝塞尔曲线的答案。

这是允许我在表单上绘制所需曲线类型的代码。

有没有办法，或者有人可以帮助我返回形成曲线的所有点？我希望从这些点计算出的曲线的每个点都以点数组的形式返回，但是我没有运气弄清楚，并且无法在 stackoverflow 或 google 上找到类似的解决方案一般的。

谢谢。

想象一下，您有一个完全正常的四点贝塞尔曲线（两个点和两个控制点），在您的可可应用程序中使用 curveToPoint:controlPoint1:controlPoint2: 创建：

你如何沿着曲线找到点（和切线）？

稍后：对于基于以下 Michal 答案的完整、简化的解决方案，请单击：
在三次贝塞尔曲线上查找点的切线（在 iPhone 上）

只需复制并粘贴以下代码：https ://stackoverflow.com/a/31317254/294884

当窗口以其原始大小（640 x 480）使用时，此代码正确绘制贝塞尔曲线，但在调整大小时不正确地呈现控制点。

在点击鼠标功能上有：

我不明白坐标系是如何处理的。

为什么使用 SCREEN_HEIGHT 转换适用于 640x480 而不适用于其他窗口尺寸？怎样才能通用？

在我自己的应用程序中，我一直在没有 glutOrtho2d 的情况下工作，并且只对每个 X、Y 进行计算，但我读过这种方法更好。我会很感激它的详细解释。

修改后的代码：

原始代码：

对于具有通常四个点 a、b、c 和 d 的三次贝塞尔曲线，

对于给定的值 t，

在那一点上如何最优雅地找到切线？

我有一个应用程序目前有这条线：

为了通过 NSBezierPath 绘制一个 GUI 元素。此行是必需的，否则当用户键入相邻（和重叠）的 NSTextField 时，myView的内容会颤抖。

我发现调用 CoreAnimation 会加载 OpenGL 框架，但不会卸载它。看到 这个问题。

我想我可以通过将NSBezierPath绘制到NSImage然后显示 NSImage 来代替 NSBezierPath 来解决这个问题，但是我还没有找到一个单一的来源来告诉我如何去做。

编辑：

我应该注意，我想在显示 NSBezierPath 之前保存它 - 因此将现有视图绘制到 NSImage的解决方案没有用。

问题：

有人可以指出我将 NSBezierPath 转换为 NSImage 的正确方向吗？