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在开始这个问题之前，我使用 P0、P1、P2 和 P3 来表示四个三次贝塞尔点，并使用“t”，因为它是参数化的。另外，我在这个站点以及谷歌中搜索过类似的问题，但找不到。如果这是一个常见问题，我深表歉意。

问题：在这两种情况下，三次贝塞尔曲线的 dx/dt 和 dy/dt 的斜率均为 0

1: t = 0 and P0 == P1
2: t = 1 and P2 == P3

这是一个示例来说明 (1)，其中 t = 0 且 P0 == P1。

求下列三次贝塞尔曲线在 t = 0 处的切线（即 dx/dt 和 dy/dt）：

(100, 100) (100, 100) (150, 150) (200, 100)

为了求切线，我们需要三次贝塞尔曲线的一阶导数：

Cubic Bezier definition
B(t) = (1-t)^3P0 + 3t(1-t)^2P1 + 3t^2(1-t)P2 + t^3P3    
First derivative of a bezier curve (if you'd like to see the steps I used to get here, let me know)
B'(t) = (-3P0 + 9P1 - 9P2 + 3P3)t^2 + (6P0 - 12P1 + 6P2)t + (-3P0 + 3P1)

将 t = 0 代入一阶导数方程，我们得到

B'(0) = -3P0 + 3P1

最后，回想一下 P0 = P1 = (100, 100)，所以 dx/dt 和 dy/dt 是：

dx/dt = dy/dt = -3*(100) + 3*(100) = 0

这告诉我......对于这个三次贝塞尔曲线，在 t = 0 处没有切线。如果您要绘制图表并查看它，这是没有意义的。

为了得到非零斜率，我所做的是：将点 P1、P2 和 P3 视为二次贝塞尔曲线，将它们转换为等效的三次贝塞尔曲线，然后在 t = 0 处找到一阶导数。有没有我可以避免这样做吗？我发现很难接受 dx/dt 和 dy/dt 为 0 的切线。谢谢你的帮助。

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对于案例 1（以及对于案例 2），导数B'(t)att = 0确实是未定义的。t = 1

要了解为什么会出现这种情况，我们可以在您的示例上“向后”运行 de Casteljau 算法，以将曲线的参数范围从 到t = 0 ... 1加倍t = -1 ... 1。这会产生以下三次贝塞尔曲线控制点：

(300,400) (0,-100) (100,200) (200,100)

如果你绘制这条曲线，你会看到你的原始曲线t = 0.5 ... 1。您还会看到t = 0.5在这条延长曲线上有一个尖点，就在原始曲线的开头。这个尖点就是为什么你的曲线在起点是不可微的。

但是，曲线的切线与导数并不完全相同。因此，如果您只需要切线，那么您很幸运。（导数与曲线相切，但任何其他垂直于曲线法线的向量也是如此。）

事实证明，曲线末端的切线通常等价于：

P1 - P0 at t = 0
P3 - P2 at t = 1

但是，如果（且仅当）P0 = P1和/或P2 = P3，则退化点处的切线（即在t = 0ifP0 = P1和/或t = 1if处P2 = P3）等价于：

P2 - P1

B'(t)您可以通过评估as来验证情况是否如此t->0。

事实上，如果你将延伸曲线一分为二，t = 0.5然后将P2 - P1方程应用于每一侧，你会看到在尖端有两条不同的切线。曲线每一半的切线指向完全相反的方向。这是为什么此时导数未定义的另一个说明。

最后一点：您将点 P1、P2 和 P3 视为二次贝塞尔曲线的技巧也会为您提供正确的切线。但是，这不会为您提供正确的导数。

于 2012-05-09T02:55:45.340 回答
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这个问题已经得到正确回答，但我想你想知道基础数学：

您正在寻找三次贝塞尔曲线的末端斜率。由于曲线（即它的 x 和 y 值）在 t 中是参数化的，因此您将分别区分 x 和 y wrt t。您到达的对可以被认为是沿曲线行进的点的瞬时“速度”。因此，在这种情况下，点的初始速度为零（或更准确地说是零向量），但（很可能）加速度（或如果失败，至少加速度的变化率）将不为零，因此点的速度将变为非零（非零向量），因此它将从这些坐标移动并追踪曲线。

但是您在视觉上看到的斜率不是参数化的，即它不依赖于时间。IOW 您正在寻找的是 dy/dx，而不是对 (dx/dt, dy/dt)，并且假设 dx/dt 和 dy/dt 在 t=0 时对于您的曲线都为零，dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 0/0，这是不确定的。要评估这一点，必须应用 L'Hopital 规则。您可以从维基百科文章中获得该规则的详细处理，但基本上这意味着要评估这种不确定的限制，我们可以分别区分分子 f 和分母 g 以获得 f' 和 g' ，然后 limit(f/g) 是等于极限（f'/g'）。现在，如果 p0、p1、p2 和 p3 是定义三次方的点，那么：

dy / dt = ypart ( 3 * ( p1 - p0 ) + 6 * t * ( p2 - 2 * p1 + p0 ) + 3 * t ** 2 * ( p3 - 3 * p2 + 3 * p1 - p0 ) )

dx / dt = xpart ( 3 * ( p1 - p0 ) + 6 * t * ( p2 - 2 * p1 + p0 ) + 3 * t ** 2 * ( p3 - 3 * p2 + 3 * p1 - p0 ) )

-> (dy/dt) / (dx/dt) = ypart ( p1 - p0 ) / xpart ( p1 - p0 )

但是当 p0 == p1 时，这变得不确定。现在按照 L'Hopital 的规定，

极限（t->0）[（dy/dt）/（dx/dt）]=极限（t->0）[（d2y/dt2）/（d2x/dt2）]

现在：

d2y/dt2 = ypart ( 6 * ( p2 - 2 * p1 + p0 ) + 6 * t * ( p3 - 3 * p2 + 3 * p1 - p0 ) )

d2x/dt2 = xpart ( 6 * ( p2 - 2 * p1 + p0 ) + 6 * t * ( p3 - 3 * p2 + 3 * p1 - p0 ) )

在 t = 0 时，(d2y/dt2) / (d2x/dt2) = ypart ( p2 - 2 * p1 + p0 ) / xpart ( p2 - 2 * p1 + p0 )

但由于 p1 == p0，这变成：ypart (p2 - p0) / xpart (p2 - p0)，这正是 Naaff 告诉你的结果。请注意，即使 p2 == p0（一条真正退化的曲线，尤其是三次曲线，在这种情况下它只是一条直线！），那么即使这也是不确定的，您可以再次区分分子和分母以获得：

限制（dy/dx）=限制（t->0）[（d3y/dt3）/（d3x/dt3）]=ypart（p3-p0）/xpart（p3-p0）

我希望它对你有用......（顺便说一句，它似乎不像在 math.stackexchange 上那样在这里使用类似 TeX 的符号，否则我会提供数学标记。）

于 2013-01-07T11:30:29.310 回答