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我可以将 Haskell 中的自然转换定义为：

并带有函数 k：

由于以下事实，满足自然条件：

h . fmap k==fmap k . h

List monadjoin函数的自然性条件可以用类似的方式证明吗？我很难理解如何join，concat特别是，是一种自然的转变。

为什么 semigroups 包中的 NonEmpty 列表也不是 comonad 类的实例？

我想我会尝试有趣的Representable-functors包来定义一个Monad和Comonad实例为由给出的仿函数，data Pair a = Pair a a它可以由Bool;表示。正如我之前对 vector monad 问题的回答中提到的那样。

我注意到的第一件事是，要使我的类型成为 的实例Representable，我不仅应该定义tabulateand index，而且还要确保我的类型是Indexable, Distributive, Keyed, Apply,Applicative和Functortype 类的实例。好了，ok，index完成了的定义，可以使用fromIndexable的<.>函数了；需要一个实例也就不足为奇了。不过，我对我的和的实例持怀疑态度。Apply<*>ApplicativeFunctorKeyedDistributive

我的mapWithKey定义借用了[]实例的定义Keyed：虽然我不明白为什么0每次迭代都使用它。我False对 的每个术语都使用了类似的方法Pair。

当我通过定义MonadandComonad实例得出结论时，我发现Bool需要Semigroup定义 forExtend和Monoid定义Comonad. 我遵循与同构的的Semigroup实例，并选择：Either(||)Falsemempty

那么，我Representable是否正确地、地道地满足了课堂的要求？

我想要一个函数来将纯函数映射到容器或通过它对应用程序/单子操作进行排序。对于纯映射，我们有

对于单子排序，我们有（来自 Data.Taversable）

这类似于

我们知道 (->) 和 (Kleisli m) 都是类别（和箭头）。于是自然而然地做出一个概括：

你知道有类似方法的 X 类吗？也许，在黑客攻击的某个地方？我试图 hoogle/hayoo 但没有找到任何合适的东西。

更新：

现在我更清楚我需要什么。Kleisli 箭头和 (->) 都是 ArrowApply 的实例，它与 Monad 一样强大。我想出了这个基于箭头的 Travesable 版本：

我可以只使用通常的基于 Applicative 的 Traversable，将 Identity 用于纯函数，但我不确定它是否好。将纯函数视为一元动作的特例是很奇怪的。将纯函数和单子动作解释为某些动作类（Category/Arrow/ArrowApply）的实例对我来说看起来更简单。

问题：你想完成实例[]吗？我对 ArrowApply vs Monad 的看法有什么意义吗？

我正在寻找一个可以帮助我编写类别理论图的 Javascript 包。基本上，在点之间创建带有标签和箭头的点（一个以上的箭头可以连接两个点，一个点可以连接到自身）。另外，能够指定线型（实线/虚线）。

具体来说，我想要一些可以自动为我布局元素的东西。

我看到了canviz，但显然它需要graphviz 来预渲染图表。我也看到了德古拉，但显然它不能从节点到自身绘制弧线。

作为一名数学学生，当我在 Haskell 中了解 monad 时，我做的第一件事就是检查它们是否真的是我所知道的意义上的 monad。但后来我了解了单子变换器，而这些似乎并不是范畴论中研究的东西。

特别是我希望它们与分配律有关，但它们似乎真的不同：单子转换器预计适用于任意单子，而分配律是单子与特定其他单子之间的事务。

此外，查看 monad 转换器的常见示例，虽然MaybeT m与m组合Maybe，但StateT m不是mwith的组合State。

所以我的问题是分类语言中的单子转换器是什么？

在阅读此博客上对 Functor 的描述时：

https://hseeberger.wordpress.com/2010/11/25/introduction-to-category-theory-in-scala/

Functor 有一个通用定义和一个更具体的定义：

显然，这意味着 Functor 可以与 Function 对象之外的其他更高种类的类型一起使用。有人可以举个例子或解释如何或为什么或在什么情况下会做？也就是说，在 Scala 中 GenericFunctor 的另一个实现会是什么——它使用与 Function 不同的类型构造函数？谢谢！

编辑：

只是为了澄清：

澄清一下，根据我的理解，ListFunctor 在 GenericFunctor 中实现 1-arg fmap，而 repl 脚本中的代码调用 Trait Functor 中的 fmap，而 Trait Functor 又调用 fmap 实现（例如在 ListFunctor 中）。

这不会改变整体问题，只是认为它会帮助人们试图提供答案。提供的任何见解将不胜感激。

每次有人承诺要“解释单子”时，我的兴趣都会被激起，但当所谓的“解释”是一长串例子被一些随口说“深奥背后的“数学理论”想法”是“在这一点上解释得太复杂了”。

现在我要求相反。我对范畴论有扎实的掌握，我不害怕图表追逐、米田引理或派生函子（实际上是范畴意义上的单子和附属词）。

有人能给我一个关于函数式编程中什么是 monad的清晰简洁的定义吗？例子越少越好：有时一个清晰的概念会说一百多个胆小的例子。尽管我并不挑剔，但 Haskell 作为一种演示语言会做得很好。

Scalaz 提供了一个为各种 ADT 命名的方法，fold例如Boolean、Option[_]、等。该方法基本上采用与给定 ADT 的所有可能情况相对应的函数。换句话说，如下所示的模式匹配：Validation[_, _]Either[_, _]

相当于：

一些例子：

同时，还有一个Traversable[_]类型同名的操作，遍历集合，对其元素进行一定的操作，并累加结果值。例如，

为什么这两个操作使用相同的名称 - fold/catamorphism？我看不出两者之间有任何相似之处/关系。我错过了什么？

对于一个非常基本的类别通用模型，我试图以逆变方式获得与一对对象相关联的态射。

我想以某种方式能够定义：

但是使 mor 成为 Obj 的方法的“明显”解决方案需要 Obj 额外由 Morphism 进行类型参数化。

实现这种事情的Scala方式是什么？