作为一名数学学生，当我在 Haskell 中了解 monad 时，我做的第一件事就是检查它们是否真的是我所知道的意义上的 monad。但后来我了解了单子变换器，而这些似乎并不是范畴论中研究的东西。
特别是我希望它们与分配律有关，但它们似乎真的不同：单子转换器预计适用于任意单子，而分配律是单子与特定其他单子之间的事务。
此外，查看 monad 转换器的常见示例，虽然MaybeT m与m组合Maybe，但StateT m不是mwith的组合State。
所以我的问题是分类语言中的单子转换器是什么？
Monad 转换器在数学上并不是非常令人愉快。然而，我们可以从免费的单子中得到很好的（共）产品，更一般地说，是理想的单子：参见 Ghani 和 Uustalu 的“理想单子的共产品”：http ://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi =10.1.1.4.2698
Oleksandr Manzyuk用范畴论计算 monad 变换器是另一篇关于 Monad 变换器的文章，并将概念与范畴论中的重要附加概念联系起来。
在我看来，它还使用了类别理论中最令人愉快的特性，即图表追逐，这使这个概念更加自然化。
希望这可以帮助。
单子转换器是单子类别中的一个尖的内函子。“有什么问题？ ”
以下是更多细节：
从某个类别开始，我们在其中考虑那些作为单子的内函子 M。所有这些单子 M 形成一个范畴，其态射是满足单子态射定律的自然变换 M -> M'。
monad 转换器是这类 monad 中的一个尖的内函子。这类单子中的内函子 T 是什么？这个内函子是从单子 M 到单子 T(M) 的映射，以及任何单子态射 M -> M' 到单子态射 T(M) -> T(M') 的映射。
如果存在从恒等式内函子 (Id) 到 T 的自然变换，则内函子 T 是“指向的”。
恒等内函子是单子和单子态射的恒等映射。自然变换 Id ~> T 由其在所有单子 M 处的分量定义。它在 M 处的分量是单子态射 M -> T(M)。此外，必须有一个自然法则（“单子自然性”），它说，对于任何单子 M 和 M' 以及任何单子态射 M -> M'，由 M、M'、T(M) 组成的图， T(M') 通勤。
该数据或多或少与 monad 转换器所需的通常数据一致。所需的单子态射 M -> T(M) 是将“外来”单子 M 提升为转换后的单子。
该构造还包括“提升”功能（这是内函子 T 对单子态射的作用），它将单子态射 M -> M' 提升到 T(M) -> T(M')。
如果我们考虑身份单子 T(Id) 的图像，这一定是其他单子。称其为转换器的“基本单子”并用 B 表示。那么对于任何 M，我们都有单子态射 B ~> T(M)。这是从基本单子到转换后的单子的提升。
然而，这个定义排除了“非功能性”单子变换器，例如延续单子和共密度单子的变换器。
分配律只与某些单子变换器有关。有两种变压器存在分配律：对于这些变压器，自然变换 Id ~> T 在 M 处的分量由 M -> B∘M 或 M ->M∘B 给出。但是其他单子有不是函子组合的转换器，并且它们没有分配律。
更多细节写在即将出版的《函数式编程的科学》一书的第 14 章：https ://github.com/winitzki/sofp