问题标签 [category-theory]

考虑以下类别的定义：

这是一元函数的一个实例：

现在，类别受某些法律的约束。相关组成（.）和身份（id）：

我想用 ScalaCheck 对此进行测试。让我们尝试整数上的函数：

但这些是通过 (i) 特定类型 ( Int) 和 (ii) 特定功能 ( intG) 量化的。所以这是我的问题：在概括上述测试方面我能走多远，以及如何？或者，换句话说，是否有可能创建任意A => B函数的生成器，并将其提供给 ScalaCheck？

范畴论和抽象代数处理函数与其他函数结合的方式。复杂性理论处理一个函数的计算难度。对我来说很奇怪，我还没有看到有人将这些研究领域结合起来，因为它们看起来很自然。有没有人这样做过？

作为一个激励性的例子，让我们看一下幺半群。众所周知，如果一个运算是一个幺半群，那么我们可以并行化这个运算。

例如在 Haskell 中，我们可以简单地定义加法是整数上的幺半群，如下所示：

现在，如果我们想计算 0 到 999 的总和，我们可以按顺序执行，如下所示：

或者我们可以并行进行

但是并行化这个幺半群才有意义，因为 mappend 在恒定时间内运行。如果不是这样呢？例如，列表是一个幺半群，其中 mappend 不会运行不固定的时间（或空间！）。我猜这就是为什么 Haskell 中没有默认的并行 mconcat 函数的原因。最好的实现取决于幺半群的复杂性。

似乎应该有一种方便的方式来描述这两个幺半群之间的差异。然后，我们应该能够用这些差异注释我们的代码，并让程序根据幺半群的复杂性自动选择要使用的最佳算法。

给定例如一个类型

我可以轻松地为 Functor、Applicative、Monad 等编写实例。

但是如果“包含”类型是预先确定的，例如

我失去了编写这些实例的能力。

如果我要为我的 StringTree 类型编写函数

满足单子定律，我还能说那StringTree是单子吗？

例如，为了证明类别定律适用于对数据类型的某些操作，如何决定如何定义相等？考虑以下类型来表示布尔表达式：

试图证明Exp形成具有身份ETrue和运算符的类别是否可行：

没有重新定义Eq实例？使用Eq的默认实例，左恒等式违反了，即：

评估为False。但是，定义一个eval 函数：

和Eq实例为：

解决问题。用(==)进行比较是声称满足此类定律的一般要求，还是说这些定律适用于特定类型的相等运算符就足够了？

这个问题有一个很长的前奏，然后我才能真正问出来:)

假设类型 A 和 B 代表类别，那么函数

f :: B -> A

是两个范畴之间的态射。我们可以创建一个新类别，其中 A 和 B 作为对象，f 作为箭头，如下所示：

现在，让我们引入一个新的类别 C 和函数 g：

g :: C -> B -> A

我希望能够将 C 和 g 添加到我上面的类别中，但我不确定该怎么做。直观地说，我想要这样的东西：

但我以前从未在类别图中看到过类似的东西。为了使这个洁净，我可以引入一个虚拟箭头 g' 并构造一个像这样的 2 类：

但这似乎是一个迟钝的画面。（当然，我们可以使用我上面画的图片作为正确图片的简写。）而且，现在也不完全清楚 g 和 g' 到底是什么。g 不再是一个将类别 C 作为输入并返回态射 :: B -> A 的函数。相反，

g' :: (C -> C)

g :: (C -> C) -> (B -> A)

如果我们通过 g 身份，那么一切都会正常工作。但是如果我们给它传递一些其他函数，那么谁知道会发生什么？

所以我的问题是：n 类别中的 n 箭头真的是我们应该考虑具有 arity n 的函数的方式吗？还是有一些更简单的方法可以将此功能表示为我错过的标准类别？

我主要是一个实际的人，但我觉得这很有趣。

我一直在考虑单子排序，有一些事情我需要澄清。因此，冒着听起来很傻的风险，它是：

monadic 成员绑定

bind :: m b -> (b -> m c) -> m c

可以对“动作”进行排序，让您可以显式访问中间值。

这比分类成员如何给我更多(.)：

(.) :: cat b c -> cat a b -> cat a c

有了这个，我可以排序并访问中间值。毕竟(f . g) x = f(g (x))。

如果我可以排序，为什么我需要bind排序(.)？

我刚刚发现自己编写了一些如下代码：

我曾尝试在 Google 上搜索有关 Haskell 的页面中使用术语“反向图像”或“原像”的情况，但没有运气。你们有没有人走过我现在走过的路，发现了这片土地？

我已经弄清楚这Invertible a不是 a Functor，因为当您尝试实现时， (no sensible function of type )fmap :: (a -> r) -> Invertible a b -> Invertible a r没有合理的价值。但也许还有其他一些我不知道的有趣操作。backward . fmap f(a -> r) -> (b -> [a]) -> r -> [a]

我已经看到Free Monad这个词时不时出现了一段时间，但每个 人似乎只是在使用/讨论它们而没有解释它们是什么。那么：什么是自由单子？（我想说我熟悉 monad 和 Haskell 基础知识，但对范畴论只有非常粗略的了解。）

我试图找到有限呈现类别的等价问题的计算复杂性的特征。

给定两个类别 C 和 D，等价是两个函子 F : C -> D 和 G : D -> C 和两个自然同构 FG -> I_D 和 I_C -> GF，其中 I_C : C -> C 和 I_D : D -> D 是 C 和 D 上的恒等函子。

等价问题是确定两个有限呈现类别是否存在等价。这个问题是不可判定的，但我希望它仍然是递归可枚举或协递归可枚举的。任何帮助将不胜感激。

https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_of_categories

https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_presentation

对于不确定性传播Approximate类型，我希望有Functorthrough的实例Monad。然而，这不起作用，因为我需要包含类型的向量空间结构，所以它实际上必须是类的受限版本。由于似乎仍然没有这些标准库（或者是否存在？请指出我。有rmonad，但它使用*而不是Constraint作为上下文类型，这对我来说似乎已经过时了），我编写了自己的版本暂时。

这一切都很容易Functor

但直接翻译Applicative，如

不可能，因为函数a->b没有必要的向量空间结构* FScalarBasisSpace。

然而，起作用的是改变受限应用类的定义：

然后定义<*>#而不是cliftA2作为自由函数

而不是一种方法。没有约束，这是完全等价的（事实上，很多Applicative实例都是这样），但在这种情况下，它实际上更好：(<*>#)仍然有无法满足的约束a->b，Approximate但这不会伤害应用实例，而且我仍然可以做有用的事情，比如

我认为CApplicative对于. Set_

所以我的问题：

比? <*>_liftA2

同样，在不受约束的情况下，它们无论如何都是等价的。我实际上发现liftA2更容易理解，但在 Haskell 中，考虑传递“函数容器”而不是对象容器和一些“全局”操作来组合它们可能更自然。并<*>直接引出所有liftAμ对于μ ∊ ℕ，而不仅仅是liftA2; 从liftA2only这样做是行不通的。

但是，这些受约束的类似乎对liftA2. 特别是，它允许所有s 的CApplicative实例，这在基方法时不起作用。而且我认为我们都同意应该始终比.CMonad<*>#ApplicativeMonad

范畴论者会对这一切说什么？有没有办法在liftAμ不需要a->b满足相关约束的情况下获得将军？

*这种类型的线性函数实际上确实具有向量空间结构，但我绝对不能局限于这些。