math - 求解非方阵中的线性方程组

Question

我有一个线性方程组，它构成了一个NxM我需要求解的矩阵（即非正方形） - 或者至少尝试求解以表明该系统没有解。（很可能没有解决方案）

据我了解，如果我的矩阵不是正方形（过定或欠定），则找不到确切的解决方案-我的想法正确吗？有没有办法将我的矩阵转换为方阵以计算确定的，应用高斯消除，克莱默规则等？

值得一提的是，我的未知数的系数可能为零，因此在某些极少数情况下，可能会有零列或零行。

Answer 1

您的矩阵是否为正方形并不是决定解决方案空间的因素。它是矩阵的秩与确定它的列数相比（参见秩零定理）。一般来说，线性方程组可以有零个、一个或无数个解，具体取决于它的秩和无效关系。

但是，要回答您的问题，您可以使用高斯消元法来查找矩阵的秩，如果这表明存在解，请找到特定解 x0 和矩阵的零空间 Null(A)。然后，您可以将所有解决方案描述为 x = x0 + xn，其中 xn 表示 Null(A) 的任何元素。例如，如果一个矩阵是满秩的，它的零空间将为空，线性系统最多有一个解。如果它的排名也等于行数，那么你有一个唯一的解决方案。如果零空间是一维的，那么您的解决方案将是一条通过 x0 的线，该线上的任何点都满足线性方程。

Answer 2

好的，首先：非平方方程组可以有精确解

[ 1 0 0 ][x] = [1]
[ 0 0 1 ][y]   [1]
         [z] 

显然有一个解决方案（实际上，它有一个一维的解决方案族：x=z=1）。即使系统是超定而不是欠定，它仍然可能有一个解决方案：

[ 1 0 ][x] = [1]
[ 0 1 ][y]   [1]
[ 1 1 ]      [2]

(x=y=1)。您可能希望首先查看最小二乘解法，如果存在则找到精确解，如果不存在则找到“最佳”近似解（在某种意义上）。

Answer 3

取Ax = b，其中 A 有 m 列和 n 行。我们不能保证只有一个解，这在很多情况下是因为我们有比未知数更多的方程（m 大于 n）。这可能是因为我们需要重复测量，因为我们对噪声的影响持谨慎态度。

如果我们观察到我们无法找到实际上意味着无法找到 b 在 A 跨越的列空间中移动的解决方案。（因为 x 仅采用列的组合）。

然而，我们可以要求 A 所跨越的空间中最接近 b 的点。我们怎样才能找到这样一个点呢？走在飞机上最近的人可以到达它外面的一点，就是一直走到你的正下方。从几何上讲，这是当我们的视线垂直于平面时。

现在这是我们可以有一个数学公式的东西。垂直向量使我们想起正交投影。这就是我们要做的。最简单的情况告诉我们去做a.T b。但是我们可以取整个矩阵A.T b。

对于我们的方程，让我们将变换应用到两边：A.T Ax = A.T b。最后一步是通过取 的倒数A.T A来求解 x ：

x = (A.T A)^-1 * A.T b

Answer 4

最小二乘建议是一个非常好的建议。

我要补充一点，您可以尝试奇异值分解 (SVD)，它可以为您提供最佳答案，并免费提供有关空空间的信息。