statistics - 指数/泊松分布

Question

汤姆进入邮局，那里有 5 个人正在接受服务，每个人由不同的售货员提供服务。一旦目前正在照顾的 5 个人中的任何一个完成，他就会被召集。每个 cleark 对每个个体的服务时间呈指数分布，平均服务时间为 5 分钟，并且独立于所有其他服务时间。找出汤姆在被叫到之前必须等待超过 2 分钟的概率。

我正在努力确定如何设置它，主要是因为有 5 人正在接受服务。

Answer 1

以下是如何使用理论解决问题（具有 指数分布的无记忆特性，随机变量是iid的事实）以及使用模拟R：

# P(/\(X_i > 2)) = Prod_i(P((X_i > 2))), i=1,..,5, X_i ~ Exp(1/5) i.i.d., where /\ denotes intersection
# P((X_i > 2)) = F_X_i(2) = exp(-(1/5)*2), F is th CDF function

# with theory
(exp(-(1/5)*2))^5
# [1] 0.1353353

(1-pexp(2, rate=1/5))^5 
# [1] 0.1353353

# with simulation
set.seed(1)
res <- replicate(10^6,{rexp(5, rate=1/5)})
probs <- table(colSums(res > 2)) / ncol(res)

probs # prob that exactly i clerks will have service time > 2, i=1,..,5
# we are interested in the event that i = 5

#      0        1        2        3        4        5 
#0.003900 0.039546 0.161347 0.327012 0.332583 0.135612 

barplot(probs)

Answer 2

如果 Tom 等待超过 2 分钟，则 5 名店员中的每一个都必须为各自的顾客服务超过 2 分钟。因此，如果 x 是单个职员花费超过 2 分钟的概率（我会让你计算 x），那么最终答案就是 x 的 5 次方。这是一个联合概率分布。P（汤姆等待超过2分钟）= P（职员1花费超过2分钟，职员2花费超过2分钟，等等）= P（单个职员花费超过2分钟）^5。