math - 生成尺寸为 8x8 的正定矩阵

Question

我正在尝试生成一个尺寸为 8x8 的正定矩阵(A'*A)。其中 A 是 1x8。

我尝试了许多随机生成的矩阵 A 但无法生成它。

octave-3.6.1.exe:166> A= (rand(1,8)+rand(1,8)*1i);
octave-3.6.1.exe:167> chol(A'*A);
error: chol: input matrix must be positive definite

谁能告诉我这里出了什么问题。我在这里先向您的帮助表示感谢。

Answer 1

这是不可能的，因为没有那种形式的矩阵是正定的。

声明：给定一个 1xn（实数，n>1）矩阵 A，对称矩阵 M = A'A 不是正定矩阵：

证明： 根据定义，M 是正定的，当且仅当 x'Mx > 0 对于所有非零 x。也就是说，对于所有非零 x，如果 x'A'Ax = (Ax)'Ax = (Ax)^2 = (A_1 x_1 + ... + A_n x_n) > 0。

由于实数值 A_i 是线性相关的，因此存在 x_i，并非全为零，因此 A_1 x_1 + ... + A_n x_n = 0。我们找到了一个非零向量 x，使得 x'Mx = 0，所以 M 不是肯定的。

可以直接应用于复杂情况的不同证明是：设 A 是 1xn（复数，n>1）矩阵。正定意味着可逆性，因此 M = A*A 必须具有满秩才能是正定的。它显然具有等级 1，因此它不可逆，因此不是正定的。

Answer 2

这是我通常如何创建 SPD 矩阵

1）创建一个随机对称矩阵
2）确保所有对角线值都大于它们出现的任何行或列的总和。

通常对于（1）我使用 0 到 1 之间的随机数。然后很容易找出每个对角线条目使用的数字。

干杯，