math - 曲线的函数方程

Question

我正在寻找使用函数方程来表达特定（见下图）曲线的方法。

重要的是（假设图表的大小是 1x1 - 实际上在最终结果中并不重要）：

• 显然是形状 - 如图所示；
• f(x)=x应该有三个解：
  x=0，x接近或等于0.5，x=1；
• 如果两条弧线都是可扩展的，那就太好了——如左图所示（下部弧线比上部弧线更重要）。

我做了一些研究，但似乎没有什么能满足我的需求。我也尝试了三角函数和 sigmoid 函数，结果证明它们非常接近我想要的。我将不胜感激任何提示甚至解决方案。

Answer 1

我相信我已经找到了一个可以满足您要求的函数形式，它使用带有两个三角调整的线性基 (y=x)。通过调整这两个参数，您应该能够达到您想要的任何形状。对于 x=0,1,0.5，f(x)=x 的约束将始终得到满足。'a' 的增加会导致两侧凸出（左侧向下，右侧向上），'b' 值非零将在两个凸起之间产生不对称。

y = x - a*sin(2*pi*x) - b*cos(4*pi*x) + b

在下面的示例中，我选择 a 为 0.1，b 为 0.015。