我在每一轮递归中求解两个方程：
X = A - inv(B) * Y * inv(B)，X = X + A' * inv(B) * A，
我这样解决问题：
C = inv(B) Y <=> BC = Y，求解 C. D = C inv(B) <=> DB = C <=> B'D' = C'，求解 D'
E = inv(B)*A <=> BE = A，求解 E。
所有矩阵都会随着时间而变化，所以我必须在每次递归时再次执行此操作（或反转）。N 通常约为 1-10，可能更多，但通常是这样的。B 是正定的，所以我可以在因式分解中使用 cholesky，然后求解多个右手边的方程。
这比仅仅反转 B 然后用它进行矩阵乘法要慢得多还是快得多？一个反演与求解三个线性方程组（还有另一个方程）加上一些转置。我认为它至少在数值上比反转更稳定？
谢谢。
首先，让我们假设你所有的矩阵都是 nx n 阶的。然后可以在 O(n^3/6) 操作中完成 cholesky 分解（对于较大的 n 值）。
求解 B*c(i) = y(i) 或 L*L'*c(i) = y(i) (Cholesky) 是 2*O(n^2/2) 或 O(n^2)，但是求解 BC=Y 就是求解这些方程中的 n 个（因为 Y 是 nxn），所以我们总共有 O(n^3)。
求解 D' 显然与此类似，所以另一个 O(n^3)。
将 D' 转换为 D 大约是 O(n^2)，但没有计算，只是交换数据（除了对角线元素当然是相同的）。
在第二个公式中求解 BE = A 中的 E 是再次反向替换 Cholesky 分解，所以 O(n^3)
A' * E 是 n^2 * (n mult and n-1 add) 这是 O(2*n^3 - n^2)
这总计为： O(n^3/6) + 3*O(n^3) + O(n^2) + O(2*n^3 - n^2) ~ O(31*n^3 /6) ~ O(5*n^3) （对于较大的 n 值）
请注意，我没有计算矩阵加法/减法，但这不相关，因为如果我们决定反转 B，它们将是相同的。出于同样的原因，我也跳过了 A 到 A'。
好的，那么反转矩阵的成本是多少？那么我们要求解矩阵方程：
B * inv(B) = I，这与求解 B * x(i) = e(i) for i=1..n 相同，其中 e(i) 是 I 中的基本单位向量。这通常是通过使用高斯消元将系统转换为三角形形式来完成，这需要大约 O(n^3/3) 次操作。当进行三角剖分时，需要 O(n^2/2) 次操作来解决它（向后替换）。但这必须做 n 次，这给了我们总共 O(n^4/3) + O(n^3/2) 次操作，所以你可以看到我们已经在边缘了。
但是，在知道 B 的 cholesky 分解为 O(n^3) 时计算 inv(B) （因为求解 L*L'*inv(B) = I 与求解 BE=A 相同）
所以我们有： O(n^3/6) (B的cholesky) + O(n^3) (用cholesky计算inv(B)) + 4*O(2n^3-n^2) (四个矩阵乘法）~ O(9*n^3) 好一点，但更糟。
所以我建议你保持目前的方法。但是您必须记住，这是针对较大的 n 值。除非 n 是 100+，否则我认为这并不重要。