我正在尝试从通常用于指定晶体学单元的参数中生成一些轴向量。这些参数包括三个轴的长度：a、b、c 和它们之间的角度：alpha、beta、gamma。按照惯例，alpha 是 b 和 c 轴之间的角度，beta 是 a 和 c 之间的角度，而 gamma 是 a 和 b 之间的角度。
现在获得前两个的向量表示很容易。我可以任意将a轴设置为x轴，所以a_axis = [a,0,0]。然后我需要将 b 从 a 旋转角度 gamma，这样我就可以留在 xy 平面上这样做，并且 b_axis = [b*cos(gamma),b*sin(gamma),0]。
问题是第三个向量。我想不出一个很好的干净的方法来确定它。我想出了一些不同的解释，但没有一个能成功。一种是想象在轴axis_a 和axis_b 周围有两个圆锥体，其大小由角度α 和β 指定。这些圆锥的交点创建了两条线，正 z 方向的一条可用作轴 c 的方向，长度为 c。
有人知道我应该如何确定axis_c吗？
谢谢。
已知长度的两个向量u,v之间的角度 alpha可以从它们的内（点）积 <u,v> 中找到：
cos(alpha) = <u,v>/(||u|| ||v||)
也就是说，alpha 的余弦是两个向量的内积除以它们的长度的乘积。
所以你第三个的 z 分量可以是任何非零值。在获得正确的角度后缩放任何或所有轴矢量不会改变角度，所以让我们假设（比如说）Cz = 1。
现在前两个向量也可能是 A = (1,0,0) 和 B = (cos(gamma),sin(gamma),0)。它们的长度都是 1，因此选择 C 时要满足的两个条件是：
cos(alpha) = <B,C>/||C||
cos(beta) = <A,C>/||C||
现在我们只有两个未知数 Cx 和 Cy 需要求解。为了简单起见，我将它们称为 x 和 y，即 C = (x,y,1)。因此：
cos(alpha) = [cos(gamma)*x + sin(gamma)*y]/sqrt(x^2 + y^2 + 1)
cos(beta) = x/(sqrt(x^2 + y^2 + 1)
将第一个方程除以第二个方程（假设 beta 不是直角！），我们得到：
cos(alpha)/cos(beta) = cos(gamma) + sin(gamma)*(y/x)
这是求解比率 r = y/x 的线性方程。一旦你有了它，将 y = rx 代入上面的第二个等式并平方给出 x 的二次方程：
cos^2(beta)*((1+r^2)x^2 + 1) = x^2
cos^2(beta) = (1 - cos^2(beta)*(1 + r^2))x^2
x^2 = cos^2(beta)/[(1 - cos^2(beta)*(1 + r^2))]
通过对方程求平方，我们引入了伪根，对应于选择 x 的符号。所以检查你在“原始”第二个方程中得到的 x 的解，以确保你得到 cos(beta) 的正确符号。
添加：
如果 beta 是一个直角，那么事情就比上面的简单了。x = 0 是强制的，我们只需求解 y 的第一个方程：
cos(alpha) = sin(gamma)*y/sqrt(y^2 + 1)
对分母进行平方和乘以得到 y 的二次方，类似于我们之前所做的。请记住检查您为 y 选择的符号：
cos^2(alpha)*(y^2 + 1) = sin^2(gamma)*y^2
cos^2(alpha) = [sin^2(gamma) - cos^2(alpha)]*y^2
y^2 = cos^2(alpha)/[sin^2(gamma) - cos^2(alpha)]
实际上，如果角度 alpha、beta、gamma 之一是直角，则最好标记该角度 gamma（在前两个向量 A、B 之间）以简化计算。
这是一种查找所有 Cx、Cy、Cz 的方法（前两个与另一个答案中的相同），假设 A = (Ax,0,0), B = (Bx, By, 0)，并假设|C| = 1
1) cos(beta) = AC/(|A||C|) = AxCx/|A| =>Cx = |A|cos(beta)/Ax = cos(beta)
2) cos(alpha) = BC/(|B||C|) = (BxCx+ByCy)/|B| =>Cy = (|B|cos(alpha)-Bx cos(beta))/By
3) 为求 Cz，令 O 为 (0,0,0) 处的点，T 为 (Cx,Cy,Cz) 处的点，P 为 T 在 Oxy 上的投影，Q 为 T 在 Ox 上的投影。所以 P 是 (Cx,Cy,0) 处的点，Q 是 (Cx,0,0) 处的点。因此，从直角三角形 OQT 我们得到
tan(beta) = |QT|/||OQ| = |QT|/Cx
从直角三角形 TPQ 我们得到 |TP|^2 + |PQ|^2 = |QT|^2。所以
Cz = |TP| = sqrt(|QT|^2 - |PQ|^2) = sqrt( Cx^2 tan(beta)^2 - Cy^2 )
我不确定这是否正确，但我不妨试一试。希望我不会得到十亿的反对票...
我懒得按必要的量缩放向量，所以我假设它们都被标准化为长度为 1。您可以对计算进行一些简单的修改以考虑不同的大小。另外，我将使用 * 来表示点积。
A = (1, 0, 0)
B = (cos(g), sin(g), 0)
C = (Cx, Cy, Cz)
A * C = cos(beta) //这只是点积的定义。我假设幅度是 1，所以我可以跳过那部分，你说 beta 是 A 和 C 之间的角度。
A * C = Cx //我通过乘以每个对应的值来做到这一点，而 Cy 和 Cz 被忽略了，因为它们被乘以 0
cos(beta) = Cx //结合前面两个方程
B * C = cos（阿尔法）
B * C = Cx*cos(g) + Cy*sin(g) = cos(beta) * cos(g) + Cy*sin(g)
(cos(alpha) - cos(beta) * cos(g))/(sin(g)) = Cy
老实说，我不确定如何获得向量 C 的 z 分量，但我希望它是一个相对简单的步骤。如果我能弄清楚，我会编辑我的帖子。