令 D 为由一系列点 {x_i,y_i} (1<=i<=N) 界定的区域。（该区域不必是凸的，并且这些点应该沿着边界曲线。）
令 f 是在 D 上定义的函数，但我们只知道它在给定点集（有限和离散）上的值，例如 {x'_i,y'_i,f(x'_i,y'_i)} (1<= i<=N')。（给定的数据集不需要在 D 中“密集”。）
如何进行 f 对 D 的数值积分？
这是我的想法：
1）首先我们应该通过这些点系列之间的线段来近似 D 的边界。
2）然后我们应该对给定的数据集做一些插值。然而，二维插值并不总是可行的。然后我就卡住了。
你能帮忙吗？谢谢你。
如果你能够对你的点进行三角测量，那么工作就完成了：在每个三角形中，你知道角点的函数值，并通过
triangle_area * (val1 + val2 + val3) / 3.0
虽然凸三角剖分是一个已解决的问题，有很多可用工具（例如，请查看qhull），但非凸三角剖分要困难得多。无论如何，朝这个方向挖掘可能会让您有所收获。
我将解决方案写为轮廓积分，并在边界上的每个分段上使用高斯或对数正交一维数值积分的总和。如果函数在曲线上的某个点是奇异的，则对数正交很有用。
您必须知道每条分段曲线端点处的函数值。您假设一个特定的插值函数（线性开始，如果您愿意，可以使用更高阶），并通过在端点值之间进行插值来进行数值积分。
如果你走得那么远，我建议通过将沿轮廓的曲线数量加倍并重新积分来检查收敛。如果积分值在一两次迭代后没有改变，您可以认为自己已经收敛。
如果你说你不知道曲线上任何地方的函数值，那么你就不能进行积分。