免责声明
这不是一个严格的编程问题，但大多数程序员迟早都要处理数学（尤其是代数），所以我认为这个答案将来可能对其他人有用。
现在
我要检查的问题是 m 维 n 的向量是否是线性独立的。如果 m == n，您可以使用向量构建一个矩阵并检查行列式是否为 != 0。但是如果 m < n 怎么办？
有什么提示吗？
另请参阅此视频讲座。
tunnuz
问问题
47466 次
8 回答
22
构造一个向量矩阵（每个向量一行），并对该矩阵执行高斯消元法。如果任何矩阵行抵消，它们就不是线性独立的。
平凡的情况是当 m > n 时，在这种情况下，它们不能是线性独立的。
于 2009-02-10T12:07:37.000 回答
7
构造一个矩阵M，其行是向量并确定 的秩M。如果 的秩M小于m（向量的数量），则存在线性相关性。在确定您的排名的算法中，M您可以在获得一行零后立即停止该过程，但是运行该算法以完成具有提供向量生成集的维度的额外财富。哦，确定等级的算法M仅仅是高斯消除。
注意数值不稳定性。请参阅数字食谱中第二章开头的警告。
于 2009-02-10T12:08:36.720 回答
3
如果m<n，您将不得不对它们进行一些操作（有多种可能性：高斯消除、正交化等，几乎任何可用于求解方程的变换都可以）并检查结果（例如，高斯消除 => 零行或列，正交化 => 零向量，SVD => 零奇异数）
但是，请注意，这个问题对于程序员来说是一个不好的问题，而这个问题对于程序来说是一个不好的问题。这是因为每个线性相关的n<m向量集在附近都有一组不同的线性独立向量（例如，问题在数值上不稳定）
于 2009-02-10T12:10:52.627 回答
2
这些天我一直在研究这个问题。
以前，我发现了一些关于高斯或高斯-乔丹消除的算法，但大多数这些算法只适用于方阵，而不适用于一般矩阵。
要申请通用矩阵，最好的答案之一可能是： http ://rosettacode.org/wiki/Reduced_row_echelon_form#MATLAB
您可以找到各种语言的伪代码和源代码。至于我，我将 Python 源代码转换为 C++，导致上面链接中提供的 C++ 代码有点复杂，不适合在我的模拟中实现。
希望对你有帮助，祝你好运^^
于 2010-12-02T12:42:06.067 回答
1
如果计算能力不是问题，可能最好的方法是找到矩阵的奇异值。基本上，您需要找到特征值M'*M并查看最大与最小的比率。如果比率不是很大，则向量是独立的。
于 2009-02-10T18:11:36.457 回答
1
当放入大小为 mxn 的矩阵 M 中时，检查 m 行向量是否线性无关的另一种方法是计算
det(M * M^T)
即mxm方阵的行列式。当且仅当 M 具有一些相关行时，它将为零。然而，高斯消除通常应该更快。
于 2009-04-06T17:52:35.370 回答
1
对不起，伙计，我的错...
上面链接中提供的源代码结果是不正确的，至少我测试过的python代码和我转换过的C++代码并没有一直生成正确的答案。（而对于上面链接中的示例，结果是正确的:)--）
要测试 python 代码，只需mtx 将
[30,10,20,0],[60,20,40,0]
返回的结果如下：
[1,0,0,0],[0,1,2,0]
不过，我有办法摆脱这种情况。正好这次我把函数的matalb源代码改成rref 了C++。您可以运行matlab并使用type rref命令获取rref.
请注意，如果您正在处理一些非常大或非常小的值，请确保使用long doublec++ 中的数据类型。否则，结果会被截断，与matlab结果不一致。
我一直在 ns2 中进行大型模拟，所有观察到的结果都是合理的。希望这会帮助你和任何其他遇到问题的人......
于 2010-12-11T08:04:14.210 回答
0
一种非常简单的方法（不是计算效率最高）是简单地删除随机行，直到m=n然后应用行列式技巧。
m < n：删除行（使向量更短）直到矩阵为正方形，然后m = n：检查行列式是否为0（如你所说）m < n（向量的数量大于它们的长度）：它们是线性相关的（总是）。
简而言之，原因是方程组的任何解m x n也是方程n x n组的解（您正在尝试求解Av=0）。要获得更好的解释，请参阅Wikipedia，它比我能更好地解释它。
于 2013-04-11T13:31:08.740 回答