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在 MATLAB 中计算某个方阵 A 的逆时，使用

Ai = inv(A)
% should be the same as:
Ai = A^-1

MATLAB 通常会通知我这不是最有效的反转方式。那么什么更有效率呢？如果我有一个方程系统，使用 /,\ 运算符可能是。但有时我需要逆进行其他计算。

什么是最有效的反转方式？

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我建议使用svd（除非你真的绝对确定你的矩阵不是病态的）。然后，根据奇异值，您决定要采取的进一步行动。这听起来像是一种“矫枉过正”的方法，但从长远来看，它会有所回报。

现在，如果您的矩阵A实际上是可逆的，那么 与pseudo inverse重合A，inv(A)但是如果您接近“奇点”，您将很容易做出适当的决定，如何继续实际制作pseudo inverse. 自然，这些决定将取决于您的应用程序。

添加了一个简单的示例：

> A= randn(3, 2); A= [A A(:, 1)+ A(:, 2)]
A =
  -1.520342  -0.239380  -1.759722
   0.022604   0.381374   0.403978
   0.852420   1.521925   2.374346

> inv(A)
warning: inverse: matrix singular to machine precision, rcond = 0
ans =
   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf

> [U, S, V]= svd(A)
U =
  -0.59828  -0.79038   0.13178
   0.13271  -0.25993  -0.95646
   0.79022  -0.55474   0.26040

S =
Diagonal Matrix
  3.6555e+000            0            0
            0  1.0452e+000            0
            0            0  1.4645e-016

V =
   0.433921   0.691650   0.577350
   0.382026  -0.721611   0.577350
   0.815947  -0.029962  -0.577350

> s= diag(S); k= sum(s> 1e-9) % simple thresholding based decision
k =  2

> Ainv= (U(:, 1: k)* diag(1./ s(1: k))* V(:, 1: k)')'
Ainv =
  -0.594055  -0.156258  -0.273302
   0.483170   0.193333   0.465592
  -0.110885   0.037074   0.192290

> A* Ainv
ans =
   0.982633   0.126045  -0.034317
   0.126045   0.085177   0.249068
  -0.034317   0.249068   0.932189

> A* pinv(A)
ans =
   0.982633   0.126045  -0.034317
   0.126045   0.085177   0.249068
  -0.034317   0.249068   0.932189
于 2011-02-15T15:36:25.100 回答
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我认为 LU 分解比反转更有效（如果使用旋转，可能更稳定）。如果您需要求解多个右手边向量，它尤其适用，因为一旦您进行了 LU 分解，您就可以根据需要对每个向量进行前向反向替换。

我会推荐 LU 分解而不是完全逆。如果这就是 MATLAB 所说的，我同意。

更新：3x3 矩阵？如果需要，您可以手动将其反转为封闭形式。只需首先检查行列式以确保它不是单数或几乎单数。

于 2011-02-15T13:34:37.737 回答
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如果你只需要逆然后就做，它会比 inv(A) 在数值上更稳定：

inv_A = 1\A;
于 2015-09-23T20:47:48.523 回答
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如果没有一种聪明的方法来做所有的计算而不明确地形成逆，那么你必须使用“inv”函数。你当然可以用你的矩阵和单位矩阵求解一个线性系统，但是这样做没有任何好处。

于 2011-02-15T13:37:24.627 回答