在 MATLAB 中计算某个方阵 A 的逆时,使用
Ai = inv(A)
% should be the same as:
Ai = A^-1
MATLAB 通常会通知我这不是最有效的反转方式。那么什么更有效率呢?如果我有一个方程系统,使用 /,\ 运算符可能是。但有时我需要逆进行其他计算。
什么是最有效的反转方式?
在 MATLAB 中计算某个方阵 A 的逆时,使用
Ai = inv(A)
% should be the same as:
Ai = A^-1
MATLAB 通常会通知我这不是最有效的反转方式。那么什么更有效率呢?如果我有一个方程系统,使用 /,\ 运算符可能是。但有时我需要逆进行其他计算。
什么是最有效的反转方式?
我建议使用svd
(除非你真的绝对确定你的矩阵不是病态的)。然后,根据奇异值,您决定要采取的进一步行动。这听起来像是一种“矫枉过正”的方法,但从长远来看,它会有所回报。
现在,如果您的矩阵A
实际上是可逆的,那么 与pseudo inverse
重合A
,inv(A)
但是如果您接近“奇点”,您将很容易做出适当的决定,如何继续实际制作pseudo inverse
. 自然,这些决定将取决于您的应用程序。
添加了一个简单的示例:
> A= randn(3, 2); A= [A A(:, 1)+ A(:, 2)]
A =
-1.520342 -0.239380 -1.759722
0.022604 0.381374 0.403978
0.852420 1.521925 2.374346
> inv(A)
warning: inverse: matrix singular to machine precision, rcond = 0
ans =
Inf Inf Inf
Inf Inf Inf
Inf Inf Inf
> [U, S, V]= svd(A)
U =
-0.59828 -0.79038 0.13178
0.13271 -0.25993 -0.95646
0.79022 -0.55474 0.26040
S =
Diagonal Matrix
3.6555e+000 0 0
0 1.0452e+000 0
0 0 1.4645e-016
V =
0.433921 0.691650 0.577350
0.382026 -0.721611 0.577350
0.815947 -0.029962 -0.577350
> s= diag(S); k= sum(s> 1e-9) % simple thresholding based decision
k = 2
> Ainv= (U(:, 1: k)* diag(1./ s(1: k))* V(:, 1: k)')'
Ainv =
-0.594055 -0.156258 -0.273302
0.483170 0.193333 0.465592
-0.110885 0.037074 0.192290
> A* Ainv
ans =
0.982633 0.126045 -0.034317
0.126045 0.085177 0.249068
-0.034317 0.249068 0.932189
> A* pinv(A)
ans =
0.982633 0.126045 -0.034317
0.126045 0.085177 0.249068
-0.034317 0.249068 0.932189
我认为 LU 分解比反转更有效(如果使用旋转,可能更稳定)。如果您需要求解多个右手边向量,它尤其适用,因为一旦您进行了 LU 分解,您就可以根据需要对每个向量进行前向反向替换。
我会推荐 LU 分解而不是完全逆。如果这就是 MATLAB 所说的,我同意。
更新:3x3 矩阵?如果需要,您可以手动将其反转为封闭形式。只需首先检查行列式以确保它不是单数或几乎单数。
如果你只需要逆然后就做,它会比 inv(A) 在数值上更稳定:
inv_A = 1\A;
如果没有一种聪明的方法来做所有的计算而不明确地形成逆,那么你必须使用“inv”函数。你当然可以用你的矩阵和单位矩阵求解一个线性系统,但是这样做没有任何好处。