c++ - 是否有一种直接的方法来反转三角形（上或下）矩阵？

Question

我正在尝试实现一些基本的线性代数运算，其中一个运算是三角（上和/或下）矩阵的求逆。有没有简单稳定的算法来做到这一点？

谢谢你。

Answer 1

是的，使用反向替换。矩阵求逆的标准算法是求其 LU 分解（分解为下三角矩阵和上三角矩阵），对三角块使用反代换，然后将结果组合得到原始矩阵的逆矩阵。

Answer 2

如果可以，请不要颠倒它。它是数值线性代数的基本戒律之一。

将矩阵 L 本身保存在内存中并计算

inv(L)b

每当您需要使用 inv(L) 做其他事情时，使用反向替换。

请注意，用于反转它的惯用算法需要求解系统

inv(L)[1 0 0 ...],
inv(L)[0 1 0 ....],
inv(L)[0 0 1 ....]

依此类推，因此您会发现根本不反转它要容易得多。

Answer 3

给定一个下三角矩阵 L，反向代换可以让您快速求解系统 L x = b 的任意右侧 b。

要反转 L，您可以求解此系统的右侧 e1=(1,0,...,0), e2=(0,1,...,0), ..., en=(0 ,0,...,1) 并将得到的解向量组合成一个（必须是下三角）矩阵。

如果您对封闭形式的解决方案感兴趣，则逆的对角元素是原始对角元素的逆元素，并且当您远离对角线时，逆元素的其余元素的公式会变得越来越复杂.

Answer 4

如果您谈论的是单精度实数，请查看 LAPACK 例程STRTRI和STRTI2的源代码。

Answer 5

作为三角矩阵 A 的 B 逆，您可以使用以下 MATLAB 代码：

n = size(A,1);
B = zeros(n);
for i=1:n
    B(i,i) = 1/A(i,i);
    for j=1:i-1
        s = 0;
        for k=j:i-1
            s = s + A(i,k)*B(k,j);
        end
        B(i,j) = -s*B(i,i);
    end
end

Answer 6

哇，这几乎是数值分析课程内容的一半。标准算法会做，这里有一堆固定代码。这个问题和大多数其他常见数值分析问题的最终来源是Numerical Recipes。