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考虑下面的每个函数，例如 f、f2、f3 和 f4，其基为 I。我们如何表示每个 f 使得 f_i=\sum a_i I_i 和每个 a_i\geq 0？

例子

我们用 M2 和 Mathematica 演示下面的多项式。

麦考利2：

i1 : R=RR[x1,x2,x3,MonomialOrder=>Lex]; 
f=x3-x1*x2;
f2=x3*x2-x1;
f3=x1-0.2;
f4=x1-x3+0.8;

i5 : I=ideal(x1-0.2,-x1+0.5,x2,-x2+1,x3-1,-x3+1); G=gb(I);

我们可以用 I 的元素来表示 f3，即用第零项

i11 : I_0==f3

o11 = true

我们可以用 I_5 和 I_0 来表示 f4

i17 : I_5+I_0==f4

o17 = true

我们可以用 I 来表示 f 和 f2 吗？

Mathematica： f 和 f-2 不能用 I 表示，但 f-1 可以用 I 表示，但不能用负数表示，因此不能在其上使用 Handelman 定理。

在此处输入图像描述

但

  • f-2 不是非负数（选择 x3=1,x1=2 所以 1-0-2=-1<0）

  • f 是非负数 (x3=1 所以 1-x1x2>0) 并且

  • f-1 不是非负数（x3=1,x2>0 所以 -x1x2<0）。

根据汉德尔曼定理，所有计算都是不确定的，因为第三项 -x1 是负数。更多关于 Mathematica 方面的信息。

我们如何用其他多项式表示一个多项式，并且每个商项都是正的，就像 Mathematica 中的 PolynomialReduce 一样，但每个商项都是正的？

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请注意，在此答案中，我使用的是您的术语，其中 R 是多项式环，RR 是实数环。我还应该说几乎从不使用环 RR，因为在 macaulay2 中对实数的计算并不总是可靠的，所以总是使用有理数环 QQ 或像 QQ/(101) 这样的正特征场。

您f和f2多项式不是线性的，因此您甚至不能将它们写为I_0,...,I_5（即 的生成器I）的线性组合。此外I，您定义的理想包含一个标量，因此数学家称之为单位理想。这意味着I=R，那是整个多项式环。所以你可以写f和f2作为一个组合，I_0,...,I_5但不是一个线性的组合。这意味着对于f = \sum g_i I_i多项式g_i，其中至少一个不是数字。

评论。对于任意环 R，元素通常称为标量，但是当R是多项式环时，假设R=RR[x_1,...x_n]通常常数多项式（它们正是实数，即 RR 的元素）称为标量。这只是一个常见的，当然令人困惑的术语。

这是一个例子，

i2 : R=QQ[x_1,x_2]

o2 = R

o2 : PolynomialRing

i3 : I=ideal(x_1-1,x_2,x_1+1)

o3 = ideal (x  - 1, x , x  + 1)
             1       2   1

o3 : Ideal of R

i4 : I == R

o4 = true

i5 : J = ideal(x_1,x_2)

o5 = ideal (x , x )
             1   2

o5 : Ideal of R

i6 : J == R

o6 = false

你看到理想I有x_1-1,x_2,x_1+1所以元素(x_1+1)-(x_1-1) = 2也属于I，所以I有一个常数多项式，它是一个单位元素（环中的单位元素是一个逆元素），这意味着I=R。有关此事实的证明，请访问https://math.stackexchange.com/questions/552173/if-an-ideal-contains-the-unit-then-it-is-the-whole-ring

另一方面J，没有任何常数多项式，所以J不是整个环R。

于 2020-04-15T21:38:44.107 回答