math - 如何计算具有给定隐函数的贝塞尔曲线的控制点？

Question

我正在尝试编写一个程序来绘制一个贝塞尔曲线段，以实现我教科书中的知识。我想尝试制作一个绘图程序来使用隐式函数绘制一些东西。我希望我的程序按以下方式工作。

• 用户输入一个隐式函数，假设 y=2x^3。
• 计算控制点（不知道怎么做）
• 绘制贝塞尔曲线（完成）
• 下一个功能

理论上，我可以通过直接替换来绘制曲线，但是我可能会对曲线进行一些修改，并且我想实现我所学的，所以，我想明智地做到这一点（直接替换似乎很愚蠢）。Thz^^

编辑 1：假设边界由用户提供

Answer 1

第一步是为曲线生成参数化表达式。给定的示例可以很容易地转换：

c(t) = (t, 2 * t^3)^T

现在用单项式表示这条曲线：

c(t) = / 0  1  0  0 \ * (1, t, t^2, t^3)^T
       \ 0  0  0  2 /
     = C * M(t)

在这个表达式中，第一个矩阵C是系数矩阵。我们需要做的就是将这个矩阵转换为 Bernstein 基。将 Mononomial 基转换为 Bernstein 基的矩阵为：

       / 1 - 3t + 3t^2 -  t^3 \   / 1 -3  3 -1 \    /  1  \
B(t) = |     3t - 6t^2 + 3t^3 | = | 0  3 -6  3 | *  |  t  |
       |          3t^2 - 3t^3 |   | 0  0  3 -3 |    | t^2 |
       \                  t^3 /   \ 0  0  0  1 /    \ t^3 /

这个方程可以倒置得到：

       / 1   1   1   1 \
M(t) = | 0  1/3 2/3  1 | * B(t)
       | 0   0  1/3  1 |
       \ 0   0   0   1 /

将其代入曲线方程，我们得到：

c(t) = C * M(t)
           / 1   1   1   1 \
     = C * | 0  1/3 2/3  1 | * B(t)
           | 0   0  1/3  1 |
           \ 0   0   0   1 /

可以计算出第一个矩阵乘积：

c(t) = / 0  1/3  2/3  1 \ * B(t)
       \ 0   0    0   2 / 

这为您提供了 Bezier 曲线的控制点：

p0 = (0, 0)^T
p1 = (1/3, 0)^T
p2 = (2/3, 0)^T
p3 = (1, 2)^T

这个过程可以应用于任何多项式曲线。

形式为方程的通解

y = a + b * x + c * x^2 + d * x^3

是：

p0 = (0, a)^T
p1 = (1/3, a + b/3)^T
p2 = (2/3, a + 2b/3 + c/3)^T
p3 = (1, a + b + c + d)^T