math - 帮助辛积分器

Question

我正在尝试开发物理模拟，并且我想实现四阶辛积分方法。问题是我一定弄错了数学，因为我的模拟在使用辛积分器时根本不起作用（与四阶龙格-库塔积分器相比，它对模拟工作得相当好）。我一直在谷歌上搜索这个，我能找到的都是关于这个主题的科学文章。我试图调整文章中使用的方法，但没有运气。我想知道是否有人有使用辛积分器的模拟源代码，最好是模拟引力场，但任何辛积分器都可以。源是什么语言并不重要，但我会欣赏使用 C 风格语法的语言。谢谢！

Answer 1

正如您要求的源代码：从这里您可以下载用于哈密顿系统的辛方法和可逆问题的对称方法的 MATLAB 和 FORTRAN 代码。还有很多其他处理差异方程的方法。

在这篇论文中，您可以找到算法的描述。

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如果您使用 Mathematica ，这也可能会有所帮助。

Answer 2

这是基于 Verlet 方案的四阶合成方法的源代码。$\log_{10}(\Delta t)$ 与 $\log_{10}(Error)$ 的线性回归将显示斜率为 4，正如理论预期的那样（见下图）。更多信息可以在这里、这里或这里找到。

#include <cmath>
#include <iostream>

using namespace std;

const double total_time = 5e3;

// Parameters for the potential.
const double sigma = 1.0;
const double sigma6 = pow(sigma, 6.0);
const double epsilon = 1.0;
const double four_epsilon = 4.0 * epsilon;

// Constants used in the composition method.
const double alpha = 1.0 / (2.0 - cbrt(2.0));
const double beta = 1.0 - 2.0 * alpha;


static double force(double q, double& potential);

static void verlet(double dt,
                   double& q, double& p,
                   double& force, double& potential);

static void composition_method(double dt,
                               double& q, double& p,
                               double& f, double& potential);


int main() {
  const double q0 = 1.5, p0 = 0.1;
  double potential;
  const double f0 = force(q0, potential);
  const double total_energy_exact = p0 * p0 / 2.0 + potential;

  for (double dt = 1e-2; dt <= 5e-2; dt *= 1.125) {
    const long steps = long(total_time / dt);

    double q = q0, p = p0, f = f0;
    double total_energy_average = total_energy_exact;

    for (long step = 1; step <= steps; ++step) {
      composition_method(dt, q, p, f, potential);
      const double total_energy = p * p / 2.0 + potential;
      total_energy_average += total_energy;
    }

    total_energy_average /= double(steps);

    const double err = fabs(total_energy_exact - total_energy_average);
    cout << log10(dt) << "\t"
         << log10(err) << endl;
  }

  return 0;
}

double force(double q, double& potential) {
  const double r2 = q * q;
  const double r6 = r2 * r2 * r2;
  const double factor6  = sigma6 / r6;
  const double factor12 = factor6 * factor6;

  potential = four_epsilon * (factor12 - factor6);
  return -four_epsilon * (6.0 * factor6 - 12.0 * factor12) / r2 * q;
}

void verlet(double dt,
            double& q, double& p,
            double& f, double& potential) {
  p += dt / 2.0 * f;
  q += dt * p;
  f = force(q, potential);
  p += dt / 2.0 * f;
}

void composition_method(double dt,
                        double& q, double& p,
                        double& f, double& potential) {
  verlet(alpha * dt, q, p, f, potential);
  verlet(beta * dt, q, p, f, potential);
  verlet(alpha * dt, q, p, f, potential);
}

Answer 3

我在加速器物理学（同步加速器光源）领域，在模拟穿过磁场的电子时，我们经常使用辛积分器。我们的基本主力是四阶辛积分器。正如上面评论中所指出的，不幸的是，这些代码的标准化程度并不高，也不是很容易获得。

一种基于 Matlab 的开源跟踪代码称为 Accelerator Toolbox。有一个名为 atcollab 的 Sourceforge 项目。在此处查看混乱的 wiki https://sourceforge.net/apps/mediawiki/atcollab/index.php?title=Main_Page

对于积分器，您可以在此处查看： https ://sourceforge.net/p/atcollab/code-0/235/tree/trunk/atintegrators/ 积分器是用 C 语言编写的，带有 MEX 链接到 Matlab。因为电子是相对论的，所以动力学和势能项看起来与非相对论情况下的略有不同，但仍然可以将哈密顿量写为 H=H1+H2，其中 H1 是漂移，H2 是反冲（比如来自四极磁铁或其他磁场）。