matlab - Matlab中如何使用最小二乘法？

Question

我有 37 个线性方程和 36 个矩阵方程形式的变量；A*X=B。方程没有确切的答案。我想使用 Matlab 最小二乘法找到误差最小的答案。我是 Matlab 的新手，所以任何评论都会有所帮助。谢谢

Answer 1

如果A是满秩的，即 的列A是线性独立的，则超定线性方程组的最小二乘解

A * x = b

可以通过反转正规方程得到（参见线性最小二乘法）：

x = inv(A' * A) * A' * b

如果A不是满秩，A' * A则不可逆。相反，可以使用的伪逆A

x = pinv(A) * b

或 Matlab 的左除运算符

x = A \ b

两者都给出相同的解决方案，但左除法的计算效率更高。

后两种计算方法也可以处理未确定的线性方程组，但在这种情况下它们给出了不同的解：伪逆给出了平方和最小的解，x而左除算子给出了具有尽可能多的解0 系数尽可能。

Answer 2

解决这个问题的最通用方法是使用伪逆：

X = pinv(A) * B;

Answer 3

您可以通过以下方式计算 x：

x = (A'*A)\A'*B