首先，如果您假设事件本身的发生率是恒定的（或者您只对它的长期平均值感兴趣），那么您可以简单地将其估计为：
λ* = N / ( t - t 0 )
其中t是当前时间，t 0是观察的开始，N是自t 0以来观察到的事件数，λ* 是真实频率 λ 的估计值。
此时，需要注意的是，上面给出的估计公式可以重新表述为积分：
λ* = 积分( δ事件(τ) dτ ) / 积分( 1 dτ )
其中积分变量 τ 的范围从t 0到t，并且 δ event (τ) = sum( δ(τ − t i ), i = 1 .. N ) 是 Dirac delta 函数的和N ，具有单个 delta -每个事件i的发生时间t i的峰值。
当然，这将是一种完全无用的计算λ* 的方法，但事实证明它是一个概念上有用的公式。基本上，查看这个公式的方式是，函数 δ event (τ) 测量事件数量在时间 τ 处增加的瞬时速率，而第二个被积函数，也就是常数 1，测量时间的速率随着时间的推移而增加（当然，这只是每秒一秒）。
好的，但是如果频率 λ 本身可能会随着时间而变化，并且您想估计它的当前值，或者至少是最近一段时间的平均值，该怎么办？
使用上面给出的积分比公式，我们可以简单地通过一些偏向最近时间的加权函数w (τ) 对两个被积函数进行加权来获得这样的估计：
λ*最近=积分（δ事件（τ）w（τ）dτ）/积分（w（τ）dτ）
现在，剩下的就是选择一个合理的w (τ)，使这些积分简化为易于计算的东西。事实证明，如果我们为某个衰减率k选择w (τ) = exp( k (τ − t )) 形式的指数衰减加权函数，则积分简化为：
λ*最近= sum( exp( k ( t i - t )), i = 0 .. N ) k / ( 1 - exp( k ( t 0 - t )) )
在t 0 → −∞ 的限制下（即，在实践中，当总观察时间 ( t − t 0 ) 远大于权重衰减时间尺度 1/ k时），这进一步简化为：
λ*最近= k sum( exp( k ( t i − t )), i = 0 .. N )
唉，天真地应用这个公式仍然需要我们记住所有的事件时间t i。但是，我们可以使用与计算通常的指数加权平均值相同的技巧——给定较早时间t'的加权平均事件率 λ*最近( t' )，并假设在t'和t之间没有发生新事件，我们可以简单地计算当前加权平均事件率λ*最近（t）：
λ*最近( t ) = exp( k ( t' - t ) ) λ*最近( t' )
此外，如果我们现在观察到恰好在时间t发生的新事件，则事件之后的加权平均事件发生率变为：
λ*最近( t ) = k + exp( k ( t' - t ) ) λ*最近( t' )
因此，我们得到一个非常简单的规则：我们需要存储的只是之前观察到的事件的最后时间t ，以及在所述事件之后的估计最近事件率 λ* 。（我们可以将这些例如初始化为t last = t 0和 λ* last = 0；事实上，当 λ* last = 0 时，t last的值没有区别，尽管对于非零的 λ* last它确实如此。）
每当发生新事件时（在时间t new），我们将这些值更新为：
λ* last ← k + exp( k ( t last − t new ) ) λ* last
t last ← t new
并且每当我们想知道当前时间t的最近事件率平均值时，我们只需将其计算为：
λ*( t ) = exp( k ( t最后- t ) ) λ*最后
附言。为了校正对t last （任意）初始值的初始偏差，我们可以添加回 1 / ( 1 - exp( k ( t 0 - t )) ) 校正项，我们之前假设t时简化了该项。 ≫ t 0。为此，只需在t = t 0时从t last = 0开始，如上所述更新t last ，但计算在时间t的估计最近事件率平均值为：
λ* corr ( t ) = exp( k ( t最后- t ) ) λ*最后 / ( 1 - exp( k ( t 0 - t )) )
（这里，t 0表示您开始测量事件的时间，而不是第一个事件的发生时间。）
这将以增加早期方差为代价消除初始偏差为零。这是一个显示校正效果的示例图，k = 0.1，真实平均事件率为 2：
红线显示没有初始偏差校正的 λ*( t )（从 λ*( t 0 ) = 0 开始），而绿线显示偏差校正的估计值 λ* corr ( t )。
pps。如上图所示，如上计算的 λ* 将不是时间的连续函数：每当事件发生时它会向上跳跃k，而当事件不发生时它会以指数方式衰减到零。
如果您想要更平滑的估计，您可以计算 λ* 本身的指数衰减平均值：
λ**( t ) = 积分( λ*(τ) exp( k 2 (τ - t )) dτ ) / 积分( exp( k 2 (τ - t )) dτ )
其中 λ* 是如上计算的指数衰减平均事件率，k 2是第二个平均值的衰减率，并且积分超过 -∞ < τ ≤ t。
这个积分也可以通过上面的逐步更新规则来计算：
λ** last ← W (Δ t ) λ* last + exp( - k 2 Δ t ) λ** last
λ* last ← k 1 + exp( - k 1 Δ t ) λ* last
t last ← t new
其中k 1和k 2是第一个和第二个平均值的衰减率，Δ t = t new - t last是事件之间的经过时间，并且：
W (Δ t ) = k 2 ( exp( - k 2 Δ t ) - exp( - k 1 Δ t ) ) / ( k 1 - k 2 )
如果k 1 ≠ k 2，或
W (Δ t ) = k Δ t exp( - k Δ t )
如果k 1 = k 2 = k （当 ( k 1 − k 2 ) → 0时，后者由前者作为极限产生）。
要计算任意时间点t的第二个平均值，请使用相同的公式：
λ**( t ) = W (Δ t ) λ*最后 + exp( - k 2 Δ t ) λ**最后
除了 Δ t = t - t last。
如上所述，该估计也可以通过应用合适的时间相关比例因子来校正偏差：
λ** corr ( t ) = λ**( t ) / (1 - S ( t - t 0 ))
在哪里：
S ( Δt ) = ( k 1 exp( - k 2 Δ t ) - k 2 exp( - k 1 Δ t ) ) / ( k 1 - k 2 )
如果k 1 ≠ k 2，或
S ( Δt ) = (1 + k Δt ) exp( - k Δt )
如果k 1 = k 2 = k。
下图显示了这种平滑的效果。红线和绿线显示 λ*( t ) 和 λ* corr ( t ) 如上所述，而黄线和蓝线显示 λ**( t ) 和 λ** corr ( t )，计算公式为k 1 = 0.1 （如上）和k 2 = 0.2：
