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给定输入：

present value = 11, SUMMATIONS of future values that = 126, and n = 7 (periods of change)

我如何解决一个链的速率，它会创建一个总和为 FV 的链？这与仅求解 11 到 126 之间的回报率不同。这是求解允许总和为 126 的回报率。我一直在尝试不同的想法并查找 IRR 和 NPV 函数，但求和方面让我很困惑.

如果求和方面不清楚，如果我假设比率为 1.1，那会将 PV = 11 变成这样的列表（加起来几乎是 FV 126），我如何只知道 n 来求解 r，总和 fv 和 pv?:

11
12.1
13.31
14.641
16.1051
17.71561
19.487171
21.4358881

总计 = 125.7947691

谢谢你。

编辑：我试图创建一种迭代器，但它在第一个循环之后挂起......

for r in (1.01,1.02,1.03,1.04,1.05,1.06,1.07,1.08,1.09,1.10,1.11,1.12):
    print r
    test = round(11* (1-r**8) / (1 - r),0)
    print test
    while True:
        if round(126,0) == round(11* (1-r**8) / (1 - r),0):
            answer = r
            break
        else:
            pass

编辑2：

IV = float(11)
SV = float(126)
N = 8
# sum of a geometric series: (SV = IV * (1 - r^n) / (1 - r )
# r^n - (SV/PV)*r + ((SV - IV)/IV) = 0
# long form polynomial to be solved, with an n of 3 for example:
# 1r^n + 0r^n + 0r^n + -(SV/PV)r + ((SV - IV)/IV)
# each polynomial coefficient can go into numpy.roots to solve
# for the r that solves for the abcd * R = 0 above.

import numpy
array = numpy.roots([1.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,(-SV)/IV,(SV-IV)/IV])
for i in array:
    if i > 1:
        a = str(i)
        b = a.split("+")
        answer = float(b[0])
print answer

我收到一个 ValueError，我的字符串“1.10044876702”无法转换为浮点数。有任何想法吗？

已解决：i.real 得到了它的真实部分。无需拆分或字符串转换，即：

for i in array:
        if i > 1:
            a = i.real
            answer = float(a)
    print answer
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2 回答 2

2

几何级数之和

代入，

126 = 11 * (1 - r**8) / (1 - r)

我们需要解决的地方r。重新整理后，

r**8 - (126/11)*r + (115/11) = 0

然后使用 NumPy

import numpy as np
np.roots([1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., -126./11, 115./11])

给

array([-1.37597528+0.62438671j, -1.37597528-0.62438671j,
   -0.42293755+1.41183514j, -0.42293755-1.41183514j,
    0.74868844+1.1640769j ,  0.74868844-1.1640769j ,
    1.10044877+0.j        ,  1.00000000+0.j        ])

其中前六个根是虚构的，最后一个是无效的（在原始方程中给出 div-by-0），所以唯一可用的答案是r = 1.10044877.

编辑：

根据Numpy 文档，np.root需要一个包含多项式系数的类似数组的对象（又名列表）。所以上面的参数可以读为1.0*r^8 + 0.*r^7 + 0.*r^6 + 0.*r^5 + 0.*r^4 + 0.*r^3 + 0.*r^2 + -126./11*r + 115./11，就是要求解的多项式。

您的迭代求解器非常粗糙；它会给你一个大概的答案，但计算时间是指数级的，具有所需的准确度。我们可以做得更好！

八阶方程没有一般解析解，因此需要一些数值方法。

如果你真的想从头开始编写自己的求解器，最简单的方法是 Newton-Raphson 方法 - 从猜测开始，然后迭代地评估函数并用误差除以一阶导数来抵消你的猜测，以希望收敛到根上 - 和希望您最初的猜测是正确的，并且您的方程式有真正的根源。

如果您更关心快速获得好的答案，np.root那么它很难被击败 - 它计算伴随矩阵的特征向量以同时找到所有根，包括实数和复数。

编辑2：

由于您的while True子句，您的迭代求解器挂起 -r循环中永远不会更改，所以您永远不会break. 此外，else: pass是多余的，可以删除。

经过大量重新排列后，您的代码变为：

import numpy as np

def iterative_test(rng, fn, goal):
    return min(rng, key=lambda x: abs(goal - fn(x)))

rng  = np.arange(1.01, 1.20, 0.01)
fn   = lambda x: 11. * (1. - x**8) / (1. - x)
goal = 126.
sol  = iterative_test(rng, fn, goal)

print('Solution: {} -> {}'.format(sol, fn(sol)))

这导致

Solution: 1.1 -> 125.7947691

编辑3：

您的最后一个解决方案看起来好多了，但您必须记住，多项式的次数（以及因此传递给 np.roots 的数组的长度）会随着周期数的变化而变化。

import numpy as np

def find_rate(present_value, final_sum, periods):
    """
    Given the initial value, sum, and number of periods in
    a geometric series, solve for the rate of growth.
    """
    # The formula for the sum of a geometric series is
    #     final_sum = sum_i[0..periods](present_value * rate**i)
    # which can be reduced to
    #     final_sum = present_value * (1 - rate**(periods+1) / (1 - rate)
    # and then rearranged as
    #     rate**(periods+1) - (final_sum / present_value)*rate + (final_sum / present_value - 1) = 0

    # Build the polynomial
    poly     = [0.] * (periods + 2)
    poly[ 0] =  1.
    poly[-2] = -1. * final_sum / present_value
    poly[-1] =  1. * final_sum / present_value - 1.

    # Find the roots
    roots = np.roots(poly)

    # Discard unusable roots
    roots = [rt for rt in roots if rt.imag == 0. and rt.real != 1.]

    # Should be zero or one roots left
    if len(roots):
        return roots[0].real
    else:
        raise ValueError('no solution found')

def main():
    pv, fs, p = 11., 126., 7
    print('Solution for present_value = {}, final_sum = {}, periods = {}:'.format(pv, fs, p))
    print('rate = {}'.format(find_rate(pv, fs, p)))

if __name__=="__main__":
    main()

这会产生：

Solution for present_value = 11.0, final_sum = 126.0, periods = 7:
rate = 1.10044876702
于 2014-02-03T06:22:43.467 回答
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求解多项式根是多余的。这种计算通常使用求解器进行，例如直接应用于指数公式的牛顿法。也适用于部分持续时间。

例如，https://math.stackexchange.com/questions/502976/newtons-method-annuity-due-equation

于 2014-02-03T13:20:51.163 回答