math - 矩阵求逆还是 Cholesky？

Question

我正在开发一种解决Ax = b的算法，其中A和b是已知的。

有两种方法可以做到这一点 x = A ^-1 b或使用 Cholesky。我知道矩阵将始终是正方形和正定的，尽管 det( A ) 可能为零。在那些罕见的情况下，我可以忽略它。但是从计算和效率的角度来看，创建逆矩阵是否效率太低？

Answer 1

一般来说，您总是想使用求解器；实际求解器的运行速度应该与乘以逆运算一样快。与进行分解相比，计算逆矩阵不仅效率低下，而且使用逆矩阵具有分解/求解器方法避免的精度问题。

如果您有一个对称矩阵，Cholesky 分解是一个合理的选择。密切相关的LDL 分解具有相当的精度，同时也避免了平方根的需要。

如果您的矩阵不对称，则不能使用 Cholesky 或 LDL 分解——请改用LU 分解方法。

Answer 2

对于大型矩阵，是的，逆矩阵非常低效。然而，特殊属性，例如矩阵是下三角矩阵，使得逆计算更简单。

在数值分析中，Ax=b 最典型的解是 A(LUx=b) 的 LU 分解，然后解 Ly = b 为 y 和 Ux = y 为 x。

对于更稳定的方法，请考虑使用 QR 分解，其中 Q 具有 Q^T*Q = I 的特殊性质，因此 Rx = Q^Tb 其中 R 是上三角（只有一个反向求解，而不是正向和反向求解与卢）。

其他特殊性质，例如矩阵是对称的（Cholesky）或带状（Gauss），使某些求解器比其他求解器更好。

一如既往地注意计算中的浮点错误。

我可以补充一点，迭代求解器也是求解系统的一种流行方法。共轭梯度法是最常用的，并且适用于稀疏矩阵。Jacobi 和 Gauss-Seidel 适用于对角占优且稀疏的矩阵。