mapping - 将点从 Euclician 2 空间映射到 Poincare 圆盘

Question

出于某种原因，似乎每个写关于庞加莱圆盘的网页的人都只关心如何表示线和测量距离。

我想将一组 2D 点（由欧几里得平面中的 x,y 坐标定义）变形到 Poincare 圆盘上，但我不知道算法应该是什么样的。在这一点上，我什至不知道是否可以在欧几里得 2 空间和庞加莱圆盘之间创建映射......

任何指针？

善意，大卫

Answer 1

如果我对所有内容的理解都正确，那么您在其他论坛上得到的答案是针对贝尔特拉米-克莱因模型的。一旦你有了它，你就可以得到 Poicare 磁盘中的坐标

p = b / (1 + sqrt(1 - b * b))

Poincare 圆盘中的坐标向量在哪里p（即您需要的），并且b是Beltrami-Klein 模型中的向量（即您从另一个答案中得到的）。

Answer 2

您将数据描述为点的集合。但是根据您的评论，您想让平面中的线条仍然映射到磁盘中的线条。您似乎想以某种方式保留空间的“结构”，这可能就是您使用“变形”一词的原因。我认为你想要一个保形贴图。

圆盘和平面之间没有共形双射。半平面和圆盘之间有这样的映射，它保留了“线” ，但不幸的是，不是你想要的那种。

您说“我什至不知道是否可以创建映射”...有许多映射供您选择（请参阅Unit Disk页面以获取示例），但没有一个具有您所有的功能似乎想要。