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我正在尝试实现几何模板引擎。其中一个部分是采用原型多边形网格并将实例与较大对象中的一些点对齐。

所以，问题是这样的：给定多边形网格中某些（可能是全部）顶点的 3d 点位置，找到一个缩放旋转，以最小化变换后的顶点和给定点位置之间的差异。如果有帮助，我还有一个可以保持固定的中心点。顶点和 3d 位置之间的对应关系是固定的。

我认为这可以通过求解变换矩阵的系数来完成，但我有点不确定如何构建系统来解决。

这方面的一个例子是立方体。原型将是单位立方体，以原点为中心，具有顶点索引：

4----5
|\    \
| 6----7
| |    |
0 |  1 |
 \|    |
  2----3

适合的顶点位置示例：

  • v0: 1.243,2.163,-3.426
  • v1: 4.190,-0.408,-0.485
  • v2：-1.974，-1.525，-3.426
  • v3：0.974，-4.096，-0.485
  • v5：1.974、1.525、3.426
  • v7：-1.243，-2.163，3.426

那么，给定原型和那些点，我如何找到单个比例因子，以及关于 x、y 和 z 的旋转，这将最小化顶点和这些位置之间的距离？最好将该方法推广到任意网格，而不仅仅是立方体。

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假设你有所有点和它们的对应关系，你可以通过解决最小二乘问题来微调你的匹配：

minimize Norm(T*V-M)

您要查找的变换矩阵在哪里T，V 是要拟合的顶点，M 是原型的顶点。范数是指 Frobenius 范数。M 和 V 是 3xN 矩阵，其中每一列是原型顶点和拟合顶点集中对应顶点的 3 向量。T 是一个 3x3 变换矩阵。那么最小化均方误差的变换矩阵是inverse(V*transpose(V))*V*transpose(M)。生成的矩阵通常不会是正交的（您想要一个没有剪切的矩阵），因此您可以解决矩阵 Procrustes 问题以使用 SVD 找到最近的正交矩阵。

现在，如果您不知道哪些给定点将对应于哪些原型点，那么您要解决的问题称为表面配准。这是一个活跃的研究领域。例如，请参阅这篇论文，它还涵盖了严格的配准，这就是您所追求的。

于 2009-11-17T20:16:06.427 回答
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如果您想在任意 3D 几何体上创建网格，通常不会采用这种方式。

你应该看看八叉树网格生成技术。如果您使用真正的 3D 图元（即四面体而不是立方体），您将获得更大的成功。

If your geometry is a 3D body, all you'll have is a surface description to start with. Determining "optimal" interior points isn't meaningful, because you don't have any. You'll want them to be arranged in such a way that the tetrahedra inside aren't too distorted, but that's the best you'll be able to do.

于 2009-11-17T23:16:37.333 回答