math - 为什么需要卷积，或者卷积背后的哲学是什么？

Question

您好，我在数字图像恢复领域工作，我已经阅读了有关卷积的所有内容，对于LTI系统，如果我们知道它的脉冲响应，那么我们可以通过在输入和脉冲响应之间使用卷积来找到它的输出。谁能告诉我它背后的主要数学哲学是什么。你对它的体验会告诉我更多，而不仅仅是上网。

Answer 1

由于系统是 LTI（线性时不变）的，我们知道从输入到输出的关系是一个线性映射。系统的时不变部分意味着如果我们将输入延迟 t 秒，输出也将延迟 t 秒。输出不依赖于应用输入的特定时间，输出将仅移动时间延迟。

如果您参考有关 LTI 系统理论的维基百科文章，您会看到脉冲响应 h(t) 决定了系统如何响应脉冲 d(t)。我们还知道，系统输出的方程是时域中的 y(t) = h(t) * x(t)。其中 y(t) 是输出，h(t) 是脉冲响应，x(t) 是输入。符号 * 指的是 h(t) 和 x(t) 的卷积

在频域中（通过执行拉普拉斯变换），我们知道 Y(s) = H(s)X(s)，因此对输入 X(s) 的输出响应是传递函数 H(s ) 和输入 X(s)。

此外，y(t)= x(tau)h(t-tau) 从 t = -inf 到 t=+inf 的总和