我想反转一个 4x4 矩阵。我的数字以定点格式存储（准确地说是 1.15.16）。
使用浮点算术，我通常只构建伴随矩阵并除以行列式（例如蛮力解决方案）。到目前为止，这对我有用，但是在处理定点数时，由于使用了所有乘法，我得到了不可接受的精度损失。
注意：在定点算术中，我总是丢弃一些立即结果的最低有效位。
那么-反转矩阵的最稳定的数值方法是什么？我不太在意性能，但简单地使用浮点会减慢我的目标架构。
Nils
问问题
10378 次
6 回答
18
元答案：它真的是一个通用的 4x4 矩阵吗？如果您的矩阵具有特殊形式，那么有直接的反演公式可以快速并让您的操作倒计时。
例如，如果它是来自图形的标准齐次坐标变换，例如：
[ux vx wx tx]
[uy vy wy ty]
[uz vz wz tz]
[ 0 0 0 1]
（假设由旋转、比例、平移矩阵组成）
然后有一个易于推导的直接公式，即
[ux uy uz -dot(u,t)]
[vx vy vz -dot(v,t)]
[wx wy wz -dot(w,t)]
[ 0 0 0 1 ]
（从链接页面窃取的 ASCII 矩阵。）
由于定点精度的损失，您可能无法击败它。
如果您的矩阵来自您知道它具有更多结构的某个领域，那么可能会有一个简单的答案。
于 2008-10-01T00:24:52.063 回答
6
我认为这个问题的答案取决于矩阵的确切形式。具有旋转（基本）的标准分解方法（LU、QR、Cholesky 等）在固定点上相当不错，尤其是对于小型 4x4 矩阵。请参阅 Press 等人的《数字食谱》一书。有关这些方法的说明。
这篇论文提供了一些有用的算法，但不幸的是，它在付费墙后面。他们建议使用（枢轴）Cholesky 分解，其中包含一些过于复杂而无法在此处列出的附加功能。
于 2008-10-01T00:23:51.037 回答
5
我想支持 Jason S 提出的问题：您确定需要反转矩阵吗？这几乎没有必要。不仅如此，这通常是一个坏主意。如果您需要求解 Ax = b，则直接求解系统比将 b 乘以 A 逆在数值上更稳定。
即使您必须一遍又一遍地解决 Ax = b 的许多 b 值，反转 A 仍然不是一个好主意。您可以分解 A（例如 LU 分解或 Cholesky 分解）并保存这些因子，这样您就不会重做每次都有效，但是您仍然每次使用分解都可以解决系统问题。
于 2008-12-10T15:02:19.570 回答
1
在执行正常算法之前，您可能会考虑加倍到 1.31。它会使乘法次数增加一倍，但是您正在执行矩阵求逆，并且您所做的任何事情都将与处理器中的乘法器密切相关。
对于任何有兴趣找到 4x4 反转方程的人，您可以使用符号数学包为您解决它们。TI-89 甚至可以做到，尽管需要几分钟。
如果您告诉我们矩阵反转对您有什么作用，以及它如何适合您的其余处理，我们可能会提出替代方案。
-亚当
于 2008-10-01T00:36:38.680 回答
1
让我问一个不同的问题：您肯定需要对矩阵求逆（称为 M），还是需要使用矩阵求逆来求解其他方程？（例如，对于已知的 M，b，Mx = b）通常有其他方法可以做到这一点，而无需明确需要计算逆。或者，如果矩阵 M 是时间的函数并且它变化缓慢，那么您可以计算一次完整的逆矩阵，并且有迭代方法来更新它。
于 2008-12-10T14:48:42.810 回答
-3
如果矩阵表示仿射变换（很多时候这是 4x4 矩阵的情况，只要您不引入缩放分量），则逆只是上部 3x3 旋转部分的转置，最后一列取反。显然，如果您需要一个广义的解决方案，那么研究高斯消除可能是最简单的。
于 2008-10-01T00:29:31.833 回答