math - 整数乘法是否使用双精度浮点数精确到 2^53？

Question

我问是因为我正在计算所有矩阵值都是整数的矩阵乘法。

我想使用 LAPACK 以便获得正确的快速代码。存储为 s 的两个大整数（其乘积小于2^53）double在相乘时会产生double包含精确整数结果的 a 吗？

Answer 1

你的分析是正确的：

• ^{-2 53}和 2 ⁵³之间的所有整数都可以用双精度精确表示。
• IEEE754 标准要求精确执行计算，然后四舍五入到最接近的可表示数字。

因此，两个值的乘积等于该范围内的整数，因此将被精确表示。

参考： 每个计算机科学家都应该知道的关于浮点运算的知识。关键部分是讨论与操作有关的 IEEE 标准。这包含上面第二个要点的陈述。您已经知道第一个要点，而第二个要点完成了论证。

Answer 2

是的！double 的数据分为符号、指数和分数：

维基百科有一篇文章解释了可表示数字的范围

-2^53 和 2^53 之间的所有整数都可以双精度表示。

在 2^52=4,503,599,627,370,496 和 2^53=9,007,199,254,740,992 之间，可表示的数字恰好是整数。对于下一个范围，从 2^53 到 2^54，所有内容都乘以 2，因此可表示的数字是偶数等。相反，对于从 2^51 到 2^52 的上一个范围，间距为 0.5 ， ETC。