math - 计算球体撞击杯子边缘的垂直角度

Question

我正在解决一个问题，其中一个已知半径的球体垂直掉落并撞击杯子的边缘。我需要计算出偏转角，这将是球体接触发生位置的函数。即，如果接触点在死点（极点），则偏转角为 0。离接触点越远，偏转角越大。

在整个问题的制定中（这只是其中的一部分），我严格使用在 xy 平面上的投影，所以我拥有的唯一信息是关于投影圆的信息。我知道球圆和杯圆的中心位置、它们的半径以及（向下投影的）重叠的大小。

如果我只有从极点到接触点的弦长，我可以计算偏转角。我怎样才能得到这个和弦的长度，从 xy 投影给定？附图显示了该问题的一些表述方式。

Answer 1

从我在 math.stackexchange.com 上的正确转发中复制的答案

非常感谢我的朋友 Andrew McHugh 博士帮助我找到解决方案。我忽略了我可以通过知道从杯子边缘到球垂直轴的水平距离 (X) 来计算角度 theta。Theta 是 X 与半径 (r) 之比的反正弦值。在 xy 平面投影中，X 是半径 - 连接重叠透镜区域 (d) 的尖端的线。因此，theta = arcsin((rd)/r)。