math - 三次贝塞尔曲线段

Question

如果我有描述贝塞尔曲线 P1、P2、P3、P4 的 4 个点（其中 P1 和 P4 是曲线的端点，P2 和 P3 是曲线的控制点），我怎么能找到描述的点只有这条贝塞尔曲线的一部分？

我找到了这个答案，这正是我正在寻找的，但答案似乎是错误的。如果我在应该代表整个贝塞尔曲线的方程中设置 t0=0 和 t1=1，则结果点无效。它们不等于原始点。

似乎该解决方案与 De Casteljau 算法有关，但我无法理解它是如何工作的。

Answer 1

是的，De Casteljau 的算法是要走的路。

参数化

如果您的曲线没有从t =0到t =1 正确参数化，那么您似乎使用错误的方程来描述您的曲线。维基百科为您提供了正确的公式：

B( t ) = (1−<i>t) ³ P ₁ + 3(1−<i>t) ² t P ₂ + 3(1−<i>t) t ² P ₃ + t ³ P ₄

[我将维基百科中从零开始的索引调整为你的问题中的从一开始。]

如果你设置t =0，你会得到P ₁，你的起点。如果您设置t =1，您将获得P ₄，即您的端点。在这两者之间，曲线的形状由这些点和两个控制点P ₂和P ₃决定。

De Casteljau 算法

让t成为您想要切割曲线的参数。假设您只想保留初始部分。你画出从P ₁到P ₂、从那里到P ₃和从那里到P ₄的三条线。这些线中的每一条都以其长度的分数t进行分割，即在分割点之前的线的长度与整个长度相关，如t： 1。您现在有三个新点P ₁₂到P ₃₄。再次执行相同操作以获得两个点P ₁₂₃和P ₂₃₄, 并再次获得单点P ₁₂₃₄。最后一点是 B( t )，即截断曲线的端点。与之前一样，起点是P ₁。新的控制点是我们刚刚构建的P ₁₂和P _{123 。}

删除曲线的初始部分的工作方式相同。因此，您可以分两步修剪曲线的两端。您获得了一组新的控制点，它们准确地（直到您使用的数值精度）描述了原始曲线的一段，不涉及近似值或类似的东西。

您可以将上面的所有几何描述转换为代数公式，并且在完美的世界中，您应该从您引用的问题的答案中得出结果。

唉，这似乎不是一个完美的世界。在撰写本文时，这些公式仅使用了二次多项式，因此它们无法描述三次曲线上的端点。正确的公式应该如下：

• P' ₁ = u ₀ u ₀ u ₀ P ₁ + ( t ₀ u ₀ u ₀ + u ₀ t ₀ u ₀ + u ₀ u ₀ t ₀ ) P ₂ + ( t ₀ t ₀ u ₀ + u ₀ t ₀ t ₀ + t ₀ u ₀ t ₀ ) P ₃+ t ₀ t ₀ t ₀ P ₄
• P' ₂ = u ₀ u ₀ u ₁ P ₁ + ( t ₀ u ₀ u ₁ + u ₀ t ₀ u ₁ + u ₀ u ₀ t ₁ ) P ₂ + ( t ₀ t ₀ u ₁ + u ₀ t ₀ t ₁ + t ₀ u ₀ t ₁ ) P ₃+ t ₀ t ₀ t ₁ P ₄
• P' ₃ = u ₀ u ₁ u ₁ P ₁ + ( t ₀ u ₁ u ₁ + u ₀ t ₁ u ₁ + u ₀ u ₁ t ₁ ) P ₂ + ( t ₀ t ₁ u ₁ + u ₀ t ₁ t ₁ + t ₀ u ₁ t ₁ ) P ₃+ t ₀ t ₁ t ₁ P ₄
• P' ₄ = u ₁ u ₁ u ₁ P ₁ + ( t ₁ u ₁ u ₁ + u ₁ t ₁ u ₁ + u ₁ u ₁ t ₁ ) P ₂ + ( t ₁ t ₁ u ₁ + u ₁ t ₁ t ₁ + t ₁ u ₁ t ₁ ) P ₃+ t ₁ t ₁ t ₁ P ₄

其中u ₀ = 1 - t ₀和u ₁ = 1 - t ₁。

请注意，在括号中的表达式中，至少有一些项是相等的并且可以组合。我没有这样做，因为我相信这里所说的公式会使模式更清晰。您可以简单地为x和y方向独立执行这些计算来计算新的控制点。