有一个 4x4 矩阵，所有 4 个对角线元素都为零。所有其他元素都是非负整数。所有 4 行和 4 列的总和是单独已知的。是否可以确定矩阵的剩余 12 个元素？例如
0 1 1 0 sum=2
2 0 0 1 sum=3
4 1 0 0 sum=5
0 1 6 0 sum=7
sum=6 sum=3 sum=7 sum=1
任何指导都会非常有帮助。谢谢
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0
矩阵是
0 一12一13一14
一个21 0 一个23一个24
一31一32 0 一34
一个41一个42一个43 0
问题是求解一组线性方程：
12 + 13 + 14 = c 1
a 21 + a 23 + a 24 = c 2
等等。我们有 12 个变量和 8 个方程（行 4 个，列 4 个）。要求解一个有 12 个变量的线性方程组，我们通常需要 12 个方程。由于方程的数量较少，系统不会有唯一解。它可能有无限多的解决方案。
于 2013-03-09T04:41:54.980 回答
0
矩阵是
0 一12一13一14
一个21 0 一个23一个24
一31一32 0 一34
一个41一个42一个43 0
问题是求解一组线性方程：
12 + 13 + 14 = r 1
一个21 + 一个23 + 一个24 = r 2
一个31 + 一个32 + 一个34 = r 3
41 + 43 + 44 = r 4
a 21 + a 31 + a 41 = c 1
12 + 32 + 42 = c 2
13 + 23 + 43 = c 3
14 + 34 + 44 = c 4
因此，您需要求解形式为 Ax = b 的方程，其中 A 仅包含 0 和 1 个系数。使用高斯消元法和欧几里得算法找到整数矩阵 S、D、T，使得 D 为对角线形式且 SDT = A。如果您不知道如何执行此操作，请在网上搜索Smith 范式算法。
然后
SDTx = Ax = b
因此
DTx = S -1 Ax = S -1 b
由于 D 是对角线形式，您可以检查是否可以解决
Dy = S -1 b
对于 y。您还可以找到（同质）解空间的基础。这反过来又可以用来降低寻找原始方程正解的复杂性。
于 2014-01-27T06:22:46.967 回答