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我试图在 R 中计算P任意 N x J 矩阵的投影矩阵S：

P = S (S'S) ^ -1 S'

我一直在尝试使用以下功能执行此操作：

P <- function(S){
  output <- S %*% solve(t(S) %*% S) %*% t(S)
  return(output)
}

但是当我使用它时，我会得到如下所示的错误：

# Error in solve.default(t(S) %*% S, t(S), tol = 1e-07) : 
#  system is computationally singular: reciprocal condition number = 2.26005e-28

我认为这是数字下溢和/或不稳定的结果，正如r-help和here等许多地方所讨论的那样，但我没有足够的经验使用 SVD 或 QR 分解来解决问题，或者将这个现有代码放入行动。我还尝试了建议的代码，即将解决方案编写为系统：

output <- S %*% solve (t(S) %*% S, t(S), tol=1e-7)

但它仍然不起作用。任何建议，将不胜感激。

我很确定我的矩阵应该是可逆的并且没有任何共线性，只是因为我尝试使用正交虚拟变量矩阵来测试它，但它仍然不起作用。

另外，我想将此应用于相当大的矩阵，因此我正在寻找一个简洁的通用解决方案。

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虽然OP已经一年多没有活跃了，但我还是决定发布一个答案。我会使用X而不是S，就像在统计学中一样，我们经常需要线性回归上下文中的投影矩阵，其中X是模型矩阵，y是响应向量，H = X(X'X)^{-1}X'而是帽子/投影矩阵，以便Hy给出预测值。

这个答案假设了普通最小二乘的背景。对于加权最小二乘，请参阅从 QR 分解获取帽子矩阵以进行加权最小二乘回归。

概述

solve是基于一般方阵的 LU 分解。对于对称X'X的（应该由crossprod(X)而不是t(X) %*% X在 R 中计算，请阅读?crossprod更多内容），我们可以使用chol2inv基于 Choleksy 分解的。

但是，三角分解不如QR分解稳定。这不难理解。如果X有条件数kappa，X'X就会有条件数kappa ^ 2。这可能会导致很大的数值困难。您收到的错误消息：

# system is computationally singular: reciprocal condition number = 2.26005e-28

只是告诉这个。kappa ^ 2大约e-28，比机器精度要小很多左右e-16。有了容差tol = .Machine$double.eps，X'X将被视为秩不足，因此 LU 和 Cholesky 因式分解将失效。

通常，在这种情况下，我们会切换到 SVD 或 QR，但枢轴Cholesky 分解是另一种选择。

  • SVD 是最稳定的方法，但成本太高；
  • QR 非常稳定，计算成本适中，并且在实践中普遍使用；
  • Pivoted Cholesky 速度很快，具有可接受的稳定性。对于大型矩阵，这是首选。

在下文中，我将解释所有三种方法。

使用 QR 分解

二维码分解

请注意，投影矩阵是与置换无关的，即，我们是否执行带有或不带有枢轴的 QR 分解都无关紧要。

在 R 中，qr.default可以调用 LINPACK 例程DQRDC进行非旋转 QR 分解，并调用 LAPACK 例程DGEQP3进行块旋转 QR 分解。让我们生成一个玩具矩阵并测试这两个选项：

set.seed(0); X <- matrix(rnorm(50), 10, 5)
qr_linpack <- qr.default(X)
qr_lapack <- qr.default(X, LAPACK = TRUE)

str(qr_linpack)
# List of 4
# $ qr   : num [1:10, 1:5] -3.79 -0.0861 0.3509 0.3357 0.1094 ...
# $ rank : int 5
# $ qraux: num [1:5] 1.33 1.37 1.03 1.01 1.15
# $ pivot: int [1:5] 1 2 3 4 5
# - attr(*, "class")= chr "qr"

str(qr_lapack)
# List of 4
# $ qr   : num [1:10, 1:5] -3.79 -0.0646 0.2632 0.2518 0.0821 ...
# $ rank : int 5
# $ qraux: num [1:5] 1.33 1.21 1.56 1.36 1.09
# $ pivot: int [1:5] 1 5 2 4 3
# - attr(*, "useLAPACK")= logi TRUE
# - attr(*, "class")= chr "qr"

请注意$pivot，两个对象的不同。

现在，我们定义一个包装函数来计算QQ'：

f <- function (QR) {
  ## thin Q-factor
  Q <- qr.qy(QR, diag(1, nrow = nrow(QR$qr), ncol = QR$rank))
  ## QQ'
  tcrossprod(Q)
  }

我们将看到qr_linpack并qr_lapack给出相同的投影矩阵：

H1 <- f(qr_linpack)
H2 <- f(qr_lapack)

mean(abs(H1 - H2))
# [1] 9.530571e-17

使用奇异值分解

SVD

在 R 中，svd计算奇异值分解。我们仍然使用上面的示例矩阵X：

SVD <- svd(X)

str(SVD)
# List of 3
# $ d: num [1:5] 4.321 3.667 2.158 1.904 0.876
# $ u: num [1:10, 1:5] -0.4108 -0.0646 -0.2643 -0.1734 0.1007 ...
# $ v: num [1:5, 1:5] -0.766 0.164 0.176 0.383 -0.457 ...

H3 <- tcrossprod(SVD$u)

mean(abs(H1 - H3))
# [1] 1.311668e-16

同样，我们得到相同的投影矩阵。

使用 Pivoted Cholesky 分解

枢轴 Cholesky 因式分解

为了演示，我们仍然使用X上面的示例。

## pivoted Chol for `X'X`; we want lower triangular factor `L = R'`:
## we also suppress possible rank-deficient warnings (no harm at all!)
L <- t(suppressWarnings(chol(crossprod(X), pivot = TRUE)))

str(L)
# num [1:5, 1:5] 3.79 0.552 -0.82 -1.179 -0.182 ...
# - attr(*, "pivot")= int [1:5] 1 5 2 4 3
# - attr(*, "rank")= int 5

## compute `Q'`
r <- attr(L, "rank")
piv <- attr(L, "pivot")
Qt <- forwardsolve(L, t(X[, piv]), r)

## P = QQ'
H4 <- crossprod(Qt)

## compare
mean(abs(H1 - H4))
# [1] 6.983997e-17

同样，我们得到相同的投影矩阵。

于 2016-09-02T17:38:51.157 回答