我是一名参与建造各种计算机控制机器的艺术家。我已经开始制作基于万向节的 XY 绘画机的原型，并且意识到所需的数学运算超出了我的能力范围。我是一个足够体面的程序员，但数学不强。3D 数学。
为了了解我需要做什么，查看装备可能会有所帮助：
早期原型：
http://roypardi.com/gimble/gimbleSmall.MOV （小视频）
http://roypardi.com/gimble/gimbleLarge.mov （更大的视频）
两个内圈代表 X/Y 轴，由步进电机控制。我希望能够同时使用光栅图像和矢量数据（gcode）。所以我需要能够在纸上/从我的数据中找到二维空间中的一个点，并让万向节弄清楚它需要处于什么方向才能到达那里（即每个电机步进多少）。
我一直在寻找 2D > 3D 投影、欧拉角等，但我已经超出了我的深度。任何指针、正确方向的推动或代码片段都将受到欢迎。我可以理解大多数编程语言。
您制作的机器非常好，我希望这对您有用，我相信它是正确的。
我看到它的方式是获得一个角度很简单，但另一个角度稍微难以想象，因为我们已经倾斜了它转动的轴。
我将避免使用 tan，因为在编程时可能会导致除以 0，这可能会令人沮丧。Z 也将是原点在纸上方的高度。
YAxis = arcsin( X / sqrt(X² + Z²))
XAxis = arcsin( Y / sqrt(Y² + X² + Z²))
或者我们可以使用
XAxis = arcsin(Y / sqrt(Y² + Z²))
YAxis = arcsin( X / sqrt(X² + Y² + Z²))
另外，如果可行的话，我非常想看这个绘图的视频。
编辑： 在考虑之后，我相信只有一种解决方案会起作用，这取决于哪个轴受另一个影响。Y轴在中间还是X轴？
我认为这是一个简单的问题http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometry
假设从环的中心到纸上最近的点（我将其称为“原点”的“O”点）的距离是距离 X。
取 O 正北的另一点 P，其与 O 的距离为 Y。
要绘制这一点，您需要角度 alpha 使得 tan(alpha)=Y/X，即您可以使用公式“arctan(Y/X)”计算 alpha [arctan 有时也称为 atan]。Arctan 是一个三角函数，我认为您可能会在通用数学库的 API 中找到它的定义。
以上是最简单的情况。
我能想到的唯一另一种情况是点 P 不是正北时。假设它的距离不是正北，而是 Y1 到北，Y2 到东。解决方案是两个角度（两个环各一个角度），其中一个是“arctan(Y1/X)”，另一个是“arctan(Y2/X)”。
也许我误解了，但我不相信云台会做你想做的事。云台可以指向任何 3D 方向，但不能移动到 3D 空间中的任意点。如果纸的平面与云台上的笔扫过的体积相交，笔可能会画一个圆圈，但仅此而已。甚至画一个圆圈也不确定，因为在这种情况下，纸也会与万向环扫过的体积相交；试图调整笔的方向会使一个环撞到纸上。
我认为您想要的是绘图仪，而不是云台。