c++ - 不使用任何函数计算 e^x

Question

我们应该使用这种公式计算 e^x：

e^x = 1 + (x ^ 1 / 1!) + (x ^ 2 / 2!) ......

到目前为止我有这个代码：

while (result >= 1.0E-20 )
{
    power = power * input;
    factorial = factorial * counter;
    result = power / factorial;
    eValue += result;
    counter++;
    iterations++;
}

我现在的问题是，由于阶乘是 long long 类型，我不能真正存储大于 20 的数字！所以发生的事情是程序在到达那个点时输出有趣的数字..

正确解决方案的 X 值最多为 709，因此 e^709 应输出：8.21840746155e+307

该程序是用 C++ 编写的。

Answer 1

x^n 和 n! 随着 n 快速增长（分别为指数和超指数），并且很快就会溢出您使用的任何数据类型。另一方面，x^n/n! 下降（最终），你可以在它很小的时候停下来。也就是说，使用 x^(n+1)/(n+1)! = (x^n/n!) * (x/(n+1))。像这样说：

term = 1.0;
for(n=1; term >= 1.0E-10; n++)
{
    eValue += term;
    term = term * x / n;
}

（直接在此框中键入的代码，但我希望它应该可以工作。）

编辑：请注意术语 x^n/n! 是，对于较大的 x，先增加一段时间，然后再减少。对于 x=709，它会上升到 ~1e+306，然后下降到 0，这只是double可以处理的极限（double的范围是 ~1e308 并将term*x其推过），但long double工作正常。当然，您的最终结果e ^x大于任何项，因此假设您使用的数据类型足够大以容纳结果，您会没事的。

（对于 x=709，只要使用 就double可以不用使用term = term / n * x，但它不适用于 710。）

Answer 2

如果将factorialfrom的类型更改为long longto会发生什么double？

Answer 3

我可以想到另一个解决方案。让pow(e,x) = pow(10, m) * bwhere bis>=1和< 10，然后

m = trunc( x * log10(e) )

其中 inlog10(e)是一个常数因子。

和

b = pow(e,x)/pow(10, m ) = pow(e,x)/pow(e,m/log10(e)) = pow (e,x-m/log10(e))

通过这个你得到：

z = x-m/log10(e)

这将在 0 到 3 之间，然后b = pow(e,z)按照 SreevartsR 给出的使用。

最后的答案是

b 是基数（有效数字），m 是尾数（数量级）。

这将比 SreevartsR 方法更快，您可能不需要使用高精度。

祝你好运。

这甚至适用于当 x 小于 0 和更大的负数时，在这种情况下 z 将在 0 到 -3 之间，这将比任何其他方法更快。

由于 z 是 -3 到 3，并且如果您需要前 20 个有效数字，则 pow(e,z) 表达式只能从 3^37/37 开始计算多达 37 个项！= ~ 3.2e-26。

Answer 4

您在这里介绍的是霍纳方案在计算多项式方面的应用。