math - 如何找到两个相反的法线或两个线段？

Question

我有两段AB 和 CD（红色）。这两个部分彼此面对。它们并不完全平行，但也永远不会相互垂直。

由此，我需要找到这些段的两条法线（蓝色），它们彼此相对（即两条法线在 ABCD 之外）。我知道如何计算线段的法线，但显然每个线段都有两个法线，我无法弄清楚如何以编程方式选择我需要的法线。有什么建议吗？

Answer 1

我认为有两种情况需要考虑：

情况 1：线之间的交点发生在任一线段的端点之外。

在这种情况下，@Michael J. Barber 建议的中点方法肯定会起作用。所以在段的中点之间形成一个向量，用这个中点向量计算你的法线向量的点积并检查符号。

如果您正在计算 的法线lineA，则法线与向量的点积midB -> midA应该是+ve。

情况 2：线之间的交点发生在一个线段的端点内。

在这种情况下，在不包围交点的线段的任一端点与交点本身之间形成一个向量。

包含交点的线段的法线与这个新向量的点积应该是+ve。

您可以通过要求两条法线之间的点积为-ve（仅在垂直线段的情况下才模棱两可）来找到另一段的向外法线。

我假设这些段不是共线或实际相交的。

希望这可以帮助。

Answer 2

计算两个线段中点之间的向量 v，从 AB 指向 CD。现在，所需法线到 AB 到 v 上的投影必须是负的，而所需法线到 CD 到 v 上的投影必须是正的。因此，只需计算法线，检查 v，并在需要时取反法线以使其满足条件。

这是在Python中：

# use complex numbers to define minimal 2d vector datatype
def vec2d(x,y): return complex(x,y)
def rot90(v): return 1j * v
def inner_prod(u, v): return (u * v.conjugate()).real

def outward_normals(a, b, c, d):
    n1 = rot90(b - a)
    n2 = rot90(d - c)
    mid = (c + d - a - b) / 2
    if inner_prod(n1, mid) > 0:
        n1 = -n1
    if inner_prod(n2, mid) < 0:
        n2 = -n2
    return n1, n2

请注意，我假设端点定义了满足问题条件的线。当线条具有相同的中点时，我也不检查边缘情况；“外部”的概念不适用于这种情况。

Answer 3

您可以减少符号的四种组合，如下所示：

1. 计算法线的点积，负号表示都显示在外面或里面。

   正如我假设您的法线具有单位长度一样，如果点积的量级为 1，您可以检测到平行度。正值表示两个方向相同，负值表示两个方向不同。

2. 如果法线不平行：将线参数化为x(t) = x0 + t * n法线n并计算t两者相交的线。负数t表示两者都显示在外面。如果您对其中一条法线执行此操作就足够了，因为您在步骤 1 中将组合从 4 减少到 2。

3. 如果两条法线都是平行的：计算法线到达t两段之间的中点的时间。如果您对其中一条法线执行此操作，如 2. 中所述就足够了，因为您在步骤 1 中将组合从 4 减少到 2。