math - 最小二乘法不能按预期工作，或者是吗？

Question

我试图通过最小二乘法来提高三边测量的准确性。对于初始估计，我得到聚类点的平均值。然后增加这个值，直到到下一个估计的距离足够小。使用此公式计算增量值，

我的问题是，为什么大多数时候最终的答案与它应该是相当重要的？最初的估计甚至更好，虽然不是那么准确。我在这里想念什么吗？

编辑

公式如here所述。希望这张图能更好的解释

看到最后一点甚至在交叉区域之外。

Answer 1

我想我对这个问题有一个足够清晰的想法来提供答案。

基本上，三角区域的内部完全由低于三个估计距离的点组成（不准确的圆半径）。因此，对解决方案的迭代改进，寻求最小平方误差近似，将点移到三角区域之外也就不足为奇了。

更多关于为什么区域内的点给出的距离低于给定估计值的更多信息：这些点正是所有三个圆圈内的点（如果这样的安排成立）。因此，从这个点到圆心的三个距离都在它们各自的半径以下。

使用三个角点的平均值（这是问题中聚类点的含义吗？）可能是一个很好的开始方式。如果有一个简单的地方可以改进计算，它可能在于使用加权最小二乘准则而不是绝对最小二乘准则。

我的意思是，如果一个半径是 10 码，而另外两个半径要大得多（为了讨论，比如说 200 和 300 码），假设估计的距离都有错误可能是没有意义的大约相等的大小（这是绝对最小二乘拟合所寻找的）。相反，假设估计距离中的误差与每个距离大致成比例（相对误差标准）更有可能产生更好的解决方案，例如对较短的距离给予更大的权重（因为其中的比例误差在绝对值上会更小）幅度大于较长距离的比例误差）。

这只是您可能希望纳入解决方案的一个想法的草图。我认为您只有三个数据可以使用（已知位置作为圆心相当准确，三个半径的不确定性更大）。因此，尝试和应用在准确性方面复杂的方法是没有意义的，而是更喜欢提供稳健解决方案的方法。我认为相对误差标准会让你朝着那个方向前进。

Answer 2

最小二乘法最小化了误差的整体平方，但它没有说明单个点与真实值的接近程度。系数受到所有点的影响，而不仅仅是一些点。