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我有一些微分方程，我想为各种起始值绘制解决方案N_0

以下是方程式：

dN\dt= bN^2 - aN

dN\dt = bN^2 (1 - N\K) - aN

我该怎么办？

我真的不关心使用的语言。在专用数学方面，我的计算机上有数学和 matlab。我可以使用枫树。我必须做更多这样的事情，而且我想有任何语言的例子，因为它会帮助我找出我想使用和学习哪一种语言。

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我将假装第一个无法解析解决，以展示如何在数学中使用一般 ODE。

定义

p1[n0_, a_, b_, uplim_: 10] :=(n /. First@NDSolve[
      {n'[t] == b*n[t]^2 - a*n[t], n[0] == n0},n, {t, 0, uplim}]

它返回 ODE 的解，即，a = p1[.1, 2., 3.]然后 ega[.3]告诉你n(.3)。然后可以做类似的事情

Show[Table[ans = p1[n0, 1, 1];
 Plot[ans[t], {t, 0, 10}, PlotRange \[Rule] Full],
 {n0, 0, 1, .05}], PlotRange \[Rule] {{0, 5}, {0, 1}}]

它绘制了一些具有不同初始值的解决方案：

在此处输入图像描述

或者，为了深入了解解决方案，可以交互地操纵 和的值a：bn0

Manipulate[
 ans = p1[n0, a, b];
 Plot[ans[t], {t, 0, 10},PlotRange -> {0, 1}],
 {{n0, .1}, 0, 1},
 {{a, 1}, 0, 2},
 {{b, 1}, 0, 2}]

这给出了类似的东西

在此处输入图像描述

控件处于活动状态（即您移动它们并且情节发生变化；尝试实时了解我的意思；请注意，您可以设置初始条件给出不同解决方案的参数）。

当然，这可以任意变得更复杂。同样在这种特殊情况下，这个 ODE 很容易进行分析积分，但是这种数值方法可以应用于通用 ODE（以及许多 PDE）。

于 2011-07-23T11:39:59.693 回答
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除了几个好的答案之外，如果您只是想要一个 ODE 解决方案的许多起始值的快速草图，作为指导，您总是可以做一个单行StreamPlot. 假设a==1和b==1，并且dy/dx == x^2 - x。

StreamPlot[{1, x^2 - x}, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

在此处输入图像描述

StreamStyle -> "Line"只会给你线条，没有箭头。

于 2011-07-26T12:44:14.797 回答
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如果您乐于以数值方式求解方程，请MATLAB使用一组可能有用的 ODE 求解器。在此处查看该ode45函数的文档。

一般的方法是定义一个描述微分方程右侧的“ode 函数”。然后将此函数连同初始条件和积分范围一起传递给ode求解器。

这种方法的一个吸引人的特点是它以直接的方式扩展到耦合 ODE 的复杂系统。

希望这可以帮助。

于 2011-07-23T08:55:32.343 回答
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在Mathematica中，您使用 NDSolve（除非它可以解析求解，在这种情况下，您使用 DSolve。所以对于您的第一个方程，我尝试了：

b = 1.1; a = 2;
s = NDSolve[{n'[t] == b n[t]^2 - a n[t], n[0] == 1}, n, {t, 0, 10}];
Plot[Evaluate[n[t] /. s], {t, 1, 10}, PlotRange -> All]

我不知道 a、b 或 N0 使用什么，但我得到了这个结果：

n[t] 的图

于 2011-07-23T06:12:50.117 回答