pattern-matching - 酉矩阵是如何排列的？- 量子模式匹配

Question

我正在阅读一篇关于量子模式匹配的论文，在这里它谈到了一个酉矩阵 U，它表示将状态幅度翻转为计算基础上的排列的预言。参见方程 (7) 下的第 3 页右侧第四段。

有人可以向我解释这意味着什么吗？

Answer 1

等式 (7) 定义的酉是一个置换，因为它将每个计算基状态发送到另一个计算基状态（与计算基状态的某些叠加相反）。在矩阵形式中，U 的每一列都用零填充，除了一个等于 1 的条目（对于可逆的行也是如此）。换句话说，它是一个置换矩阵。

具体来说，U 将计算基状态 |x ₀ , x ₁ , ..., x _n ⟩ 发送到计算基状态 |y, x ₁ , ..., x _n ⟩ 其中 y = f(x ₁ , .. ., x _n ) 如果 x ₀ = 0 并且 y = 1-f(x ₁ , ..., x _n ) 如果 x ₀ = 1。参见等式 (6)。

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请注意，U 不会翻转任何状态的相位。但是，如果我们对状态采取 U

|0, x ₁ , ..., x _n ⟩ - |1, x ₁ , ..., x _n ⟩</p>

（我们忽略归一化）然后结果是

(-1)^f(x ₁ , ..., x _n ) (|0, x ₁ , ..., x _n ⟩ - |1, x ₁ , ..., x _n ⟩)

当且仅当 f(x ₁ , ..., x _n ) = 1 时，相位翻转。这是相位反冲的示例。