这实际上是针对编程比赛的，但我已经非常努力地尝试了，甚至没有最微弱的线索如何做到这一点。
找到 n m的第一个和最后 k 个数字，其中 n 和 m 可以非常大 ~ 10^9。
对于最后 k 位，我实现了模幂运算。
对于第一个 k，我想使用二项式定理达到一定的幂，但这涉及到大量的阶乘计算，我不知道如何找到一个最佳点，在该点处 n^m 可以扩展为 (x+y)米。
那么有没有任何已知的方法可以在不执行整个计算的情况下找到前 k 位数字？
更新1 <= k <= 9 并且 k 将始终是 <= n m中的数字
不确定，但我想到了恒等式 n m = exp10(m log10(n)) = exp(q (m log(n)/q)) 其中 q = log(10) 以及第一个 K exp10(x) 的位数 = exp10(frac(x)) 的前 K 位，其中 frac(x) = x = x - floor(x) 的小数部分。
更明确地说：n m的前 K 位是其尾数的前 K 位= exp(frac(m log(n)/q) * q)，其中 q = log(10)。
或者你甚至可以在这个会计练习中走得更远，并使用 exp((frac(m log(n)/q)-0.5) * q) * sqrt(10)，它也有相同的尾数（+ 因此相同的第一个 K数字）以便 exp() 函数的参数以 0 为中心（在 +/- 0.5 log 10 = 1.151 之间）以实现快速收敛。
（一些例子：假设你想要 2 100的前 5 位数字。这等于 exp((frac(100 log(2)/q)-0.5)*q)*sqrt(10) = 1.267650600228226 的前 5 位数字。根据 MATLAB，2 100的实际值是 1.267650600228229e+030，我手边没有 bignum 库。对于 2 1,000,000,000的尾数，我得到 4.612976044195602 但我真的没有办法检查....有一个梅森素数页面上有人已经完成了艰苦的工作；2 20996011 -1 = 125,976,895,450... 我的公式给出了在 MATLAB 中计算的 1.259768950493908，它在第 9 位之后失败。）
我可能会使用泰勒级数（用于 exp和 log，而不是用于 nm ）及其误差范围，并继续添加项，直到误差范围降至前 K 位以下。（通常我不使用泰勒级数进行函数逼近——它们的误差被优化为在单个点附近最准确，而不是在所需的区间上——但它们确实具有数学上简单的优势，而且你只需添加附加项即可将准确度提高到任意精度）
对于对数，我会使用您最喜欢的近似值。
好。我们想计算
并只得到n 个前位数。
通过以下迭代计算：
你有
. 
不准确地计算每个。问题是 的相对误差小于a 的相对误差的n倍。
您希望最终的相对误差小于
. 因此，每一步的相对误差可能是
。删除每一步的最后一位数字。
例如，a=2、b=16、n=1。最终相对误差为 10^{-n} = 0,1。每一步的相对误差为 0,1/16 > 0,001。因此，3 位数字在每一步都很重要。如果 n = 2，则必须保存 4 位。
2 (1), 4 (2), 8 (3), 16 (4), 32 (5), 64 (6), 128 (7), 256 (8), 512 (9), 1024 (10) - -> 102、204 (11)、408 (12)、816 (13)、1632 (14) -> 163、326 (15)、652 (16)。
答案：6。
该算法的复杂度为O(b)。但是很容易将其更改为 O(log b)
假设你在每一步都截断？不确定这有多准确，但是，例如，取 n=11 m=某个大数字，并且您想要前 2 位数字。
递归：
12 x 11 -> 132 截断 -> 13 重复，
(132 截断) x 11 -> 143. ...
最后加上 #0 相当于你已经完成的截断次数。
你看过平方乘幂吗？您也许可以修改其中一种方法，以便只计算必要的。
在我上一堂算法课中，我们必须实现与您正在做的类似的事情，我隐约记得那个页面很有用。