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我想生成正随机半定矩阵。我正在寻找一种算法，或者最好是用 C、matlab、java 或任何语言实现该算法的简单实现。

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  1. 生成随机矩阵
  2. 乘以它自己的转置
  3. 你得到了一个半正定矩阵。

示例代码（Python）：

import numpy as np
matrixSize = 10 
A = np.random.rand(matrixSize, matrixSize)
B = np.dot(A, A.transpose())
print 'random positive semi-define matrix for today is', B
于 2009-03-06T16:19:16.607 回答
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你需要清楚你对“随机”的定义。你对结果矩阵有什么限制？您希望系数均匀分布还是正态分布？您是否希望特征值具有特定分布？（ETC。）

有多种方法可以生成半正定矩阵 M，包括：

  1. 给定任意矩阵 A，计算 M = A T A（构造Cholesky 分解）
  2. 给定具有非负对角元素的任意对角矩阵 S 和相同大小的正交矩阵 Q，计算 M = QSQ T（构造奇异值分解）

出于数字原因，我可能会选择第二种方法，通过生成具有所需属性的对角矩阵，然后生成 Q 作为多个Householder 反射的组合（生成随机向量 v，缩放到单位长度，H = I - 2vv T ); 我怀疑你想使用 K * N 其中 N 是矩阵 M 的大小，而 K 是 1.5-3 之间的一个数字（我猜这个），以确保它具有足够的自由度。

您还可以使用Givens 旋转生成一个正交矩阵 Q ：从 1 到 N 中选择 2 个不同的值，并围绕该对轴生成一个 Givens 旋转，角度从 0 到 2 * pi 均匀分布。然后取其中的 K * N 个（与上段相同的推理），它们的组合产生 Q。

编辑：我猜（不确定）如果您有独立生成且正态分布的系数，那么整个矩阵将是“正态分布”（无论这意味着什么）。至少对于向量来说是这样。（N 个独立生成的高斯随机变量，每个分量一个，为您提供一个高斯随机向量）对于均匀分布的分量，情况并非如此。

于 2009-03-06T17:58:31.330 回答
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如果您可以用您选择的语言生成一个随机矩阵，那么通过使用矩阵乘以其转置为半正定的性质，您可以生成一个随机半正定矩阵

在 Matlab 中，它就像

% Generate a random 3x3 matrix
    A = rand(3,3) 
% Multiply by its tranpose
    PosSemDef = A'*A
于 2009-03-06T16:22:39.767 回答
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半正定矩阵上的自然分布是Wishart 分布。

于 2010-07-02T10:52:17.987 回答
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A'*A 将给出一个正半定矩阵当且仅当 A 秩亏时。因此，上述答案以及从维基百科复制的答案通常并不正确。要计算一个半正定矩阵，只需将任何矩形 m × n 矩阵 (m < n) 乘以它的转置。即如果 B 是一个 m × n 矩阵，其中 m < n，那么 B'*B 是一个半定矩阵。我希望这有帮助。

于 2011-09-21T14:49:15.290 回答
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澄清一点（我希望）。令 A 为随机矩阵（例如，由随机正态变量填充），mxn 且 m >= n。那么如果 A 是满列秩，A'A 将是正定的。如果 A 的秩 < n 则 A'A 将是半正定的（但不是正定的）。

m >= n 的随机正态矩阵几乎肯定是满秩的；要生成秩亏矩阵，可以附加一列或多列，这些列是其他列的线性组合。

于 2018-09-22T16:15:28.727 回答