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我一直在寻找一种从多元正态分布中采样的便捷方法。有谁知道一个现成的代码片段来做到这一点？对于矩阵/向量，我更喜欢使用Boost或Eigen或其他我不熟悉的非凡库，但我可以在紧要关头使用GSL。如果该方法接受非负定协方差矩阵而不是要求正定协方差矩阵（例如，与 Cholesky 分解一样），我也会喜欢它。这存在于 MATLAB、NumPy 和其他软件中，但我很难找到现成的 C/C++ 解决方案。

如果我必须自己实现它，我会抱怨，但这很好。如果我这样做，维基百科听起来我应该这样做

  1. 生成n 个0 均值、单位方差、独立的正态样本（boost 会这样做）
  2. 求协方差矩阵的特征分解
  3. 通过相应特征值的平方根缩放n 个样本中的每一个
  4. 通过将缩放向量与分解找到的正交特征向量矩阵预乘来旋转样本向量

我希望这能快速工作。是否有人对何时值得检查协方差矩阵是否为正有直觉，如果是，请改用 Cholesky？

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由于这个问题已经获得了很多意见，我想我会通过发布到 Eigen 论坛来发布我找到的最终答案的代码。该代码将 Boost 用于单变量法线，将 Eigen 用于矩阵处理。这感觉相当不正统，因为它涉及使用“内部”命名空间，但它确实有效。如果有人提出建议，我愿意改进它。

#include <Eigen/Dense>
#include <boost/random/mersenne_twister.hpp>
#include <boost/random/normal_distribution.hpp>    

/*
  We need a functor that can pretend it's const,
  but to be a good random number generator 
  it needs mutable state.
*/
namespace Eigen {
namespace internal {
template<typename Scalar> 
struct scalar_normal_dist_op 
{
  static boost::mt19937 rng;    // The uniform pseudo-random algorithm
  mutable boost::normal_distribution<Scalar> norm;  // The gaussian combinator

  EIGEN_EMPTY_STRUCT_CTOR(scalar_normal_dist_op)

  template<typename Index>
  inline const Scalar operator() (Index, Index = 0) const { return norm(rng); }
};

template<typename Scalar> boost::mt19937 scalar_normal_dist_op<Scalar>::rng;

template<typename Scalar>
struct functor_traits<scalar_normal_dist_op<Scalar> >
{ enum { Cost = 50 * NumTraits<Scalar>::MulCost, PacketAccess = false, IsRepeatable = false }; };
} // end namespace internal
} // end namespace Eigen

/*
  Draw nn samples from a size-dimensional normal distribution
  with a specified mean and covariance
*/
void main() 
{
  int size = 2; // Dimensionality (rows)
  int nn=5;     // How many samples (columns) to draw
  Eigen::internal::scalar_normal_dist_op<double> randN; // Gaussian functor
  Eigen::internal::scalar_normal_dist_op<double>::rng.seed(1); // Seed the rng

  // Define mean and covariance of the distribution
  Eigen::VectorXd mean(size);       
  Eigen::MatrixXd covar(size,size);

  mean  <<  0,  0;
  covar <<  1, .5,
           .5,  1;

  Eigen::MatrixXd normTransform(size,size);

  Eigen::LLT<Eigen::MatrixXd> cholSolver(covar);

  // We can only use the cholesky decomposition if 
  // the covariance matrix is symmetric, pos-definite.
  // But a covariance matrix might be pos-semi-definite.
  // In that case, we'll go to an EigenSolver
  if (cholSolver.info()==Eigen::Success) {
    // Use cholesky solver
    normTransform = cholSolver.matrixL();
  } else {
    // Use eigen solver
    Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::MatrixXd> eigenSolver(covar);
    normTransform = eigenSolver.eigenvectors() 
                   * eigenSolver.eigenvalues().cwiseSqrt().asDiagonal();
  }

  Eigen::MatrixXd samples = (normTransform 
                           * Eigen::MatrixXd::NullaryExpr(size,nn,randN)).colwise() 
                           + mean;

  std::cout << "Mean\n" << mean << std::endl;
  std::cout << "Covar\n" << covar << std::endl;
  std::cout << "Samples\n" << samples << std::endl;
}
于 2012-12-26T21:22:01.113 回答
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这是一个在 Eigen 中生成多元正态随机变量的类，它使用 C++11 随机数生成并Eigen::internal通过使用来避免这些东西Eigen::MatrixBase::unaryExpr()：

struct normal_random_variable
{
    normal_random_variable(Eigen::MatrixXd const& covar)
        : normal_random_variable(Eigen::VectorXd::Zero(covar.rows()), covar)
    {}

    normal_random_variable(Eigen::VectorXd const& mean, Eigen::MatrixXd const& covar)
        : mean(mean)
    {
        Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::MatrixXd> eigenSolver(covar);
        transform = eigenSolver.eigenvectors() * eigenSolver.eigenvalues().cwiseSqrt().asDiagonal();
    }

    Eigen::VectorXd mean;
    Eigen::MatrixXd transform;

    Eigen::VectorXd operator()() const
    {
        static std::mt19937 gen{ std::random_device{}() };
        static std::normal_distribution<> dist;

        return mean + transform * Eigen::VectorXd{ mean.size() }.unaryExpr([&](auto x) { return dist(gen); });
    }
};

它可以用作

int size = 2;
Eigen::MatrixXd covar(size,size);
covar << 1, .5,
        .5, 1;

normal_random_variable sample { covar };

std::cout << sample() << std::endl;
std::cout << sample() << std::endl;
于 2016-10-25T16:51:21.267 回答
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对于现成的解决方案，犰狳C++ 库支持使用函数mvnrnd()从多元高斯分布（甚至从正半定协方差矩阵）中采样。

于 2022-01-29T00:24:10.957 回答
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做一个 SVD 然后检查矩阵是否是 PD 怎么样？请注意，这不需要您计算 Cholskey 分解。虽然，我认为 SVD 比 Cholskey 慢，但它们的翻牌数都必须是三次方。

于 2011-06-01T16:48:45.557 回答