math - 数学方程可能无限循环？

Question

我有以下问题，并且无法理解等式的一部分：

估计积分的蒙特卡罗方法基本上是，取大量随机样本并确定加权平均值。例如，f(x) 的积分可以从 N 个独立的随机样本 x _r估计为

替代文字 http://www.govtam.com/images/area.gif

对于 xr 在 [x1, x2] 范围内的均匀概率分布。由于每个函数评估 f(xr) 都是独立的，因此很容易将这项工作分配给一组进程。

我不明白 f(x _r ) 应该做什么？它是否反馈到相同的方程中？那不是无限循环吗？

Answer 1

它应该说 f(x _i )

f() 是我们试图通过数值蒙特卡罗方法进行积分的函数，该方法通过评估从积分区域中随机选择的点来估计积分（及其误差）。

参考。

Answer 2

您的目标是计算ffromx1到的积分x2。例如，您可能希望计算sin(x)from0到的积分pi。

使用蒙特卡洛积分，您可以通过在区间内随机采样点并在这些点处[x1,x2]进行评估来近似这一点。f也许你想称之为MonteCarloIntegrate( f, x1, x2 ).

所以不，MonteCarloIntegrate不会“反馈”到自身。它调用一个函数f，即您尝试进行数值积分的函数，例如sin.

Answer 3

替换f(x_r)为（阅读： f 在sub subf(x_r_i)评估）。是从区间 中随机均匀选择的。xrir_i[x_1, x_2]

关键是： on 下的面积f等于[x_1, x_2]区间on(x_2 - x_1)的平均值的倍数。那是f[x_1, x_2]

A = (x_2 - x_1) * [(1 / (x_2 - x_1)) * int_{x_1}^{x_2} f(x)\, dx]

方括号中的部分是f我们[x_1, x_2]将表示的平均值avg(f)。我们如何估计 的平均值f？通过在随机点对其进行采样并在这些随机点取评估N的平均值。f以机智：

avg(f) ~ (1 / N) * sum_{i=1}^{N} f(x_r_i)

其中x_r_1, x_r_2, ..., x_r_N是从 [x_1, x_2] 中均匀随机选择的点。

然后

A = (x_2 - x_1) * avg(f) ~ (x_2 - x_1) * (1 / N) * sum_{i=1}^{N} f(x_r_i).

这是考虑这个等式的另一种方法：f区间[x_1, x_2]上的面积与长度(x_2 - x_1)和高度等于 的平均高度的矩形的面积相同f。的平均高度f约为

(1 / N) * sum_{i=1}^{N} f(x_r_i)

这是我们之前产生的价值。

Answer 4

是 x _i还是 x _r无关紧要——这是我们输入函数 f() 的随机数。

我更有可能编写如下函数（除了格式化）：

(x ₂ -x ₁ ) * 和(f(x _i ))/N

这样，我们可以看到我们取 f(x) 的 N 个样本的平均值来获得函数的平均高度，然后乘以宽度 (x2-x1)。

因为，毕竟，积分只是计算曲线下的面积。（漂亮的图片在http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/integ.html#c4。

Answer 5

x_r 是来自积分范围的随机值。

用 Random(x_1, x_2) 代替 x_r 将给出一个等效方程。