statistics - 重尾分布 - Weibull

Question

我知道 Weibull 分布在形状参数 < 1 时表现出次指数重尾行为。我需要使用重尾分布的极限定义来证明这一点：

对全部

如何结合累积分布函数 (CDF) 或 Weibull 分布的任何其他方程特征来证明该限制成立？

Answer 1

Weibull 分布的CDF为1 - exp(-(x/lambda)^k) = P(X <= x).

所以

P(X > x) = 1 - CDF = exp(-(x/lambda)^k),

和

lim exp(lambda * x) * P(X > x) = lim exp(lambda x) * exp( - (x/lambda)^k)
                               = lim exp(lambda x - x^k/lambda^k)

由于k<1, 和 x 很大，并且lambda>0, lambda x增长得比x^k/lambda^k（具有更大指数的单项式获胜）更快。换句话说，这个lambda x词支配着这个x^k/lambda^k词。所以lambda x - x^k/lambda^k是大而积极的。

因此，极限趋于无穷大。