python - 在python中用定点迭代法求解这个方程

Question

f(x) = x^2- 2x - 3 = 0

如何解决这个方程非线性，并在 Python 中使用定点迭代法？

Answer 1

一个可能的迭代是

f(x) = 2 + 3 / x.

导数是

f'(x) = - 3 / x²

这样迭代将收敛于x² > 3。

从 开始2，迭代是

2, 7/2, 20/7, 61/20, 182/61, 547/182... -> 3

这对另一个根（负数）不起作用，因为负值很快就会变成正数。

@tinyhare 使用的公式，

f(x) = 3 / (x - 2)

有导数

f'(x) = - 3 / (x - 2)²

并且肯定会停留并收敛于负面。

-2, -3/4, -12/11, -33/34, -102/101, -303/304, ... -> -1

请注意，在这两种情况下，分子每次都减一，而分母则定期增加。

Answer 2

定点迭代

f(x) = x^2-2x-3 = 0 ⇒ x(x-2) = 3 ⇒ x = 3/(x-2)

import math

def g(x):
   if 2 == x:
       return x + 1e-10
   return 3/(x-2)

def quadratic(ff,x=0):
    while abs(x-ff(x)) > 1e-10:
        x = ff(x);
    return x

print(quadratic(g))

-1

求根公式

# -*- coding:utf8 -*-
import math
def quadratic(a, b, c):
    ''' ax² + bx + c = 0
        return
        True  : all real number
        Fasle :  no solutions
        (x1,x2)
    '''
    if not isinstance(a, (int, float)):
        raise TypeError('a is not a number')
    if not isinstance(b, (int, float)):
        raise TypeErrot('b is not a number')
    if not isinstance(c, (int, float)):
        raise TypeError('c is not a number')
    derta = b * b - 4 * a * c
    if a == 0:
        if b == 0:
            if c == 0:
                return True
            else:
               return False
        else:
            x1 = -c / b
            x2 = x1
            return x1, x2
    else:
        if derta < 0:
            return False
        else:
            x1 = (-b + math.sqrt(derta)) / (2 * a)
            x2 = (-b - math.sqrt(derta)) / (2 * a)
            return x1, x2

print(quadratic(1, -2, -3))

(3.0, -1.0)

Answer 3

这是一个二次方程，您可以使用封闭式表达式（即无需使用定点迭代）求解，如下所示。

在这种情况下，您将有两种解决方案：

x1 = -(p/2) + math.sqrt((p/2)**2-q)
x2 = -(p/2) - math.sqrt((p/2)**2-q)

其中 p 是您的第一个系数（在您的示例中为-2），q 是您的第二个系数（在您的示例中为-3）。

对于一般情况，您必须检查 sqrt 运算符中的表达式是否大于或等于零。如果它小于零，则方程将没有实数解。如果它等于 0，则两个解相等（称为双根）。