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是否有任何算法可以找到该方程的所有可能解：

x1² + x2² + ... + xn² = 1

其中 xi > 0 且 n >= 2

为了限制解决方案，我们可以将 x 的小数点固定为 1。例如：

如果 n = 2，找到所有满足 x1² + x2² = 1 的元组 (x1, x2) 此函数的返回类似于（将小数点固定为 1）：

[
    [0.1, 1],
    [0.2, 1],
    [0.3, 0.9],
    [0.4, 0.9],
    [0.5, 0.9],
    [0.6, 0.8],
    [0.7, 0.7],
    [0.8, 0.6],
    [0.9, 0.4],
    [1, 0.1],
    [1, 0.2],
    ...
    [0.4, 0.9]
]

对于 n = 2，这很容易，但我需要对 n > = 2 进行概括。

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首先，您提供的等式是R^n半径为 1 的球体的一般描述。因此，所有可能点的数量是无限且不可数的！

如果您想要所有点的小数点精度为 1，您可以轻松地对其进行概括。假设你想要一个算法n = 3。固定x_3为 0 到 1 ( 0.1, 0.2, ..., 0.9) 之间的值。那么这意味着你设置了一个与球体相交的平面R^3。x1现在，您想找到x2一个半径为1-x^3in的圆R^2。正如您所说，您知道如何解决 2D 问题。

现在您知道如何解决n = 3. 因此，您可以递归地解决这个问题并将其推广到 n > 3。

于 2019-07-18T19:17:08.593 回答
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如@OmG 所示，您的方程类似于 n 球体的方程。因此，试图找到所有可能的解决方案是很困难的，因为它们的数量是无限的。可以使用一个简单的参数方程找到所有解的参数化版本：

2D: x1=cos(t1)                          t1 in [0,2pi[
    x2=sin(t1)
3D: x1=cos(t1)                          t1 in [0,pi]
    x2=sin(t1) cos(t2)                  t2 in [0,2pi[
    x3=sin(t1) sin(t2)
4D: x1=cos(t1)                          t1 in [0,pi]
    x2=sin(t1) cos(t2)                  t2 in [0,pi]
    x3=sin(t1) sin(t2) cos(t3)          t3 in [0,2pi[
    x4=sin(t1) sin(t2) sin(t3)
...

见https://en.m.wikipedia.org/wiki/N-sphere

如果您只对达到给定小数精度的解决方案感兴趣，那么您不应该使用浮点数，而是整数。例如，如果您对方程x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 1的所有解x 1、x 2、x 3感兴趣。其中x 1,2,3 = ±ab，a = 0 或 1，b 为 0,1,2,3,4,5,6,7,8 或 9。那么使用整数更容易避免使用数字由于浮点近似而导致的错误（请参阅浮点数学是否损坏？）。您需要做的就是将您的数字乘以 10 (y 1 = 10 · x 1 ) 并从整数角度求解方程y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 = 100 。

在这种情况下，一个简单的蛮力算法就是：

do i=0,10
  do j=0,i
    if (i*i + j*j > 100) jump out of j-loop
    do k=0,j
      if (i*i+j*j+k*k == 100) print i,j,k
    end do
  end do
end do

上面将打印 i,j,k。但是，所有可能的排列和符号更改也是有效的解决方案。所以解决方案 (8,6,0) 也意味着 (-8,6,0), (-6,0,8), (0,8,6), ... 是解决方案。

所以最后，我们将浮点问题简化为一个更容易在数值上检查的整数问题。

现在与这个问题相关的是：

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于 2019-07-19T15:15:39.317 回答