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对于“在 MATLAB 中围绕数据的椭圆”这个问题，在Amro 给出的答案中，他说如下：

“如果您希望椭圆表示特定水平的标准偏差，正确的做法是缩放协方差矩阵”

并且缩放它的代码被给出为

STD = 2;                     %# 2 standard deviations
conf = 2*normcdf(STD)-1;     %# covers around 95% of population
scale = chi2inv(conf,2);     %# inverse chi-squared with dof=#dimensions

Cov = cov(X0) * scale;
[V D] = eig(Cov);

我不明白上述代码片段的前 3 行。尺度是如何计算的chi2inv(conf,2)，将它与协方差矩阵相乘的基本原理是什么？

附加问题：

我还发现，如果我用 1.5 STD 缩放它，即 86% 的瓷砖，椭圆可以覆盖所有的点，我的点集几乎在所有情况下都聚集在一起。另一方面，如果我用 3 STD 缩放它，即 99% 的平铺，椭圆太大了。那么我该如何选择一个 STD 来紧紧地覆盖聚集点呢？

这是一个例子：

内椭圆对应 1.5 STD，外椭圆对应 2.5 STD。为什么 1.5 STD 会紧紧地覆盖成团的白点？是否有任何方法或理由来定义它？

在此处输入图像描述

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在数据点周围显示椭圆的目的是显示置信区间，或者换句话说，“有多少数据在平均值的某个标准偏差范围内”

在上面的代码中，他选择显示一个覆盖 95% 数据点的椭圆。对于正态分布，约 67% 的数据与平均值相差 1 sd，约 95% 在 2 sd 之内，约 99% 在 3 sd 之内（这些数字超出了我的想象，但您可以通过以下方式轻松验证这一点计算曲线下面积）。因此，STD=2;您会发现该conf值约为0.95。

数据点与数据质心的距离类似于(xi^2+yi^2)^0.5，忽略系数。随机变量的平方和遵循卡方分布，因此为了获得相应的 95 个百分位数，他使用自由度为 2 的逆卡方函数，因为有两个变量。

最后，乘以缩放常数背后的基本原理是，对于具有特征值 的方阵，矩阵A的a1,...,an特征值kA，其中k是标量是简单的ka1,...,kan。特征值给出了椭圆长轴/短轴的相应长度，因此将椭圆或特征值缩放到 95% 平铺相当于将协方差矩阵乘以缩放因子。

编辑

Cheng，虽然您可能已经知道这一点，但我建议您也阅读这个关于随机性问题的答案。考虑一个具有零均值、单位方差的高斯随机变量。此类随机变量集合的 PDF 如下所示

在此处输入图像描述

现在，如果我要取两个这样的随机变量集合，将它们分别平方并将它们相加以形成一个新随机变量的单个集合，它的分布如下所示

在此处输入图像描述

这是具有 2 个自由度的卡方分布（因为我们添加了两个集合）。

上面代码中的椭圆方程可以写成x^2/a^2 +y^2/b^2=k, 其中x,y是两个随机变量,a是b长轴/短轴,k是我们需要计算的一些缩放常数。如您所见，上面可以解释为对两个高斯随机变量集合进行平方和相加，我们刚刚在上面看到了它的分布。所以，我们可以说它k是一个随机变量，它是一个自由度为 2 的卡方分布。

现在需要做的就是找到一个值，k使 95% 的数据都在其中。就像 1s.d、2s.d、3s.d 一样。我们熟悉的高斯百分位数，具有 2 个自由度的卡方的 95%tile 约为 6.18。这就是 Amro 从chi2inv函数中得到的。他本可以写得一样好scale=chi2inv(0.95,2)，结果也一样。n只是用sd 远离均值的说法是直观的。

只是为了说明，这是上面卡方分布的 PDF，其中 95% 的区域 < 一些x用红色阴影表示。这x是〜6.18。

在此处输入图像描述

希望这有帮助。

于 2011-04-06T19:15:29.887 回答