image-processing - 拉普拉斯滤波器是如何计算的？

Question

我并没有真正理解他们是如何得出导数方程的。有人可以详细解释一下，甚至可以提供一个有足够数学解释的链接吗？

$图片$

拉普拉斯滤波器看起来像

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拉普拉斯先生提出了这个等式。这就是拉普拉斯算子的简单定义：二阶导数之和（您也可以将其视为Hessian 矩阵的迹）。

您显示的第二个方程是二阶导数的有限差分逼近。这是您可以对离散（采样）数据进行的最简单的近似。导数定义为斜率（来自维基百科的方程式）：

在离散网格中，最小值h为 1。因此导数为f(x+1)-f(x)。这个导数，因为它使用x右边和右边的像素，引入了半像素偏移（即计算这两个像素之间的斜率）。要获得^二阶导数，只需计算导数结果的导数：

f'(x) = f(x+1) - f(x)
f'(x+1) = f(x+2) - f(x+1)

f"(x) = f'(x+1) - f'(x)
      = f(x+2) - f(x+1) - f(x+1) + f(x)
      = f(x+2) - 2*f(x+1) + f(x)

因为每个导数都会引入半像素偏移，所以 2^阶导数最终会产生 1 像素偏移。所以我们可以将输出左移一个像素，从而没有偏差。这导致了序列f(x+1)-2*f(x)+f(x-1)。

计算这个二阶导数与使用过滤器进行卷积相同[1,-2,1]。

应用这个过滤器，以及它的转置，并添加结果，相当于与内核卷积

[ 0, 1, 0       [ 0, 0, 0       [ 0, 1, 0
  1,-4, 1    =    1,-2, 1    +    0,-2, 0
  0, 1, 0 ]       0, 0, 0 ]       0, 1, 0 ]

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