matrix - 证明 axb 的叉积垂直于 b

Question

我怎么知道 A x B 的叉积垂直于 B。我有点困惑，因为有 3 个向量而不是 2 个。

A = (0, -2, 5)
B = (2, 2, -5)
C= ( 7, -4, -5)

在R2平面上，(a x b) * b = 0证明它a x b垂直于b，但我如何在 上找到它R3。

Answer 1

我认为您不了解叉积的作用。它给出了一个与两个向量正交的向量。

叉积 a × b 定义为与 a 和 b 都垂直（正交）的向量 c，其方向由右手定则给出，大小等于向量跨越的平行四边形的面积。

您可以通过使用正交性的定义来简单地展示这一点，即他们的点积为零。

Answer 2

所以，经过一些研究，我终于想出了如何证明向量在 R3 上相互垂直。

A= (a1, a2, a3)
B= (b1, b2, b3)
C= (c1, c2, c3)

(AB x AC )* AB = 0
(AB x AC )* AC = 0

Answer 3

像这样的问题可以归结为你认为什么是你的定义。

例如，定义叉积 A x B 的一种方法是：

1. R^3 是指具有固定方向的三维真实空间。
2. 观察 R^3 中的两个线性独立向量 A 和 B 跨越一个平面，因此垂直于它们的每个向量都位于通过垂直于该平面的原点的（唯一）线上。
3. 请注意，对于任何正幅度，沿这条线恰好有两个具有该幅度的向量。
4. 观察到，如果我们考虑 R^3 的有序基 {A, B, C}，其中 C 是上一步的两个向量之一，那么一个选择与 R^3 的方向匹配，而另一个不匹配。
5. 将 A x B 定义为上一步中的向量 C，其中 {A, B, C} 与 R^3 的方向匹配。

例如，这就是Wikipedia 文章中定义叉积的方式：

“叉积 a × b 定义为与 a 和 b 都垂直（正交）的向量 c，其方向由右手定则给出，大小等于向量跨越的平行四边形的面积。 "

如果这是您的定义，那么实际上没有什么可以证明的，因为定义中已经包含“垂直”一词。

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另一个定义可能是这样的：

1. R^3 是指具有固定方向的三维真实空间。
2. 对于与 R^3 方向相同的 R^3 的有序基 { e1, e2, e3 }，我们可以将任意两个向量 A 和 B 写为 A = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 和 B 为 B = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3。
3. 请注意，无论我们在第 2 步中选择 { e1, e2, e3 }，向量 C := (a2 b3 - b2 a3) e1 - (a1 b3 - b3 a1) e2 + (a1 b2 - b1 a2 ) e3 总是一样的。
4. 取上一步的向量 C 作为 A x B 的定义。

这不是一个很好的定义，因为第 3 步既需要大量工作，又需要完整的黑魔法，但这是您通常会看到的。如果这是您的定义，那么证明 A x B 垂直于 A 和 B 的最佳方法是证明另一个定义给您与这个定义相同的向量，然后垂直度就免费了。

更直接的方法是证明点积为零的向量是垂直的，然后通过做一堆代数来计算点积。这又是一种相当流行的方法，但它本质上毫无价值，因为它没有提供对正在发生的事情的任何洞察力。