我试图掌握可逆和不可逆矩阵的基本概念。
我创建了一个随机的非奇异方阵
S <- matrix(rnorm(100, 0, 1), ncol = 10, nrow = 10)
我知道这个矩阵是正定的（因此是可逆的），因为当我将矩阵S分解为其特征值时，它们的乘积是正的。
eig_S <- eigen(S)
eig_S$values
[1] 3.0883683+0.000000i -2.0577317+1.558181i -2.0577317-1.558181i 1.6884120+1.353997i 1.6884120-1.353997i
[6] -2.1295086+0.000000i 0.1805059+1.942696i 0.1805059-1.942696i -0.8874465+0.000000i 0.8528495+0.000000i
solve(S)
根据这篇论文，我们也可以通过其 SVD 计算非奇异矩阵的逆矩阵。哪里
（其中 U 和 V 是特征向量和 D 特征值，如果我错了，请纠正我）。
则相反的是，
。
事实上，我可以在 R 中运行公式：
s <- svd(S)
s$v%*%solve(diag(s$d))%*%t(s$u)
产生与 完全相同的结果solve(S)。
我的第一个问题是：
1) 是否s$d确实代表 的特征值S？因为s$d和eig_S$values完全不同。
现在第二部分，
如果我创建一个奇异矩阵
I <- matrix(rnorm(100, 0, 1), ncol = 5, nrow = 20)
I <- I%*%t(I)
eig_I <- eigen(I)
eig_I$values
[1] 3.750029e+01 2.489995e+01 1.554184e+01 1.120580e+01 8.674039e+00 3.082593e-15 5.529794e-16 3.227684e-16
[9] 2.834454e-16 5.876634e-17 -1.139421e-18 -2.304783e-17 -6.636508e-17 -7.309336e-17 -1.744084e-16 -2.561197e-16
[17] -3.075499e-16 -4.150320e-16 -7.164553e-16 -3.727682e-15
求解函数会产生错误
solve(I)
系统在计算上是奇异的：倒数条件数 = 1.61045e-19
所以，再次根据同一篇论文，我们可以使用 SVD
i <- svd(I)
solve(i$u %*% diag(i$d) %*% t(i$v))
这会产生相同的错误。然后我尝试使用Cholesky 分解进行矩阵求逆
Conj(t(I))%*%solve(I%*%Conj(t(I)))
我又得到了同样的错误。
有人可以解释一下我在哪里使用了错误的方程式吗？
我知道对于 matrix I%*%Conj(t(I))，特征值矩阵的行列式是正的，但由于我所做的初始乘法，矩阵不是满秩。
j <- eigen(I%*%Conj(t(I)))
det(diag(j$values))
[1] 3.17708e-196
qr(I %*% Conj(t(I)))$rank
[1] 5
更新1：在下面的评论之后，再次浏览论文/维基百科页面之后。我使用了这两个代码，它们产生了一些结果，但我不确定它们的有效性。第一个例子似乎更可信。SVD解决方案
i$v%*%diag(1/i$d)%*%t(i$u)
和乔尔斯基
Conj(t(I))%*%(I%*%Conj(t(I)))^(-1)
我不确定我是否正确解释了这两个来源。